Потребительский оптимум в экономике с континуумом товаров

Рассмотрим экономику с континуумом товаров, с одним товаром для каждой точки в $[0,1]$ .

Предположим, что потребитель хочет максимизировать

$$U = \int_0^1 c_i^\theta\,di\qquad 0<\theta<1$$ условии где c i - количествопотребленного i-го товара, p i - его цена, а M - денежный доход потребителя. $$\int_0^1 p_i c_i\,di = M$$ $c_i$$i$$p_i$$M$

Такая проблема возникает, например, при применении модели Диксита-Стиглица к макроэкономике или международной торговле.

Решение этой проблемы предположительно гдеA- постоянная, выбранная для обеспечения соблюдения бюджетного ограничения.

$$c_i = Ap_i^{1 \over {\theta-1}}$$ $A$

Я не очень доволен выводами этого результата, которые используют множители Лагранжа по аналогии со случаем конечного числа товаров. Каков будет абсолютно математически строгий метод получения вышеуказанного результата?

Кажется очевидным, что не существует единственного решения, поскольку произвольное изменение значений для конечного числа значений i оставит интегралы в функции полезности и бюджетном ограничении без изменений. Я ожидаю, что совершенно строгий вывод также правильно определит эту степень неединственности.$c_i$$i$

РЕДАКТИРОВАТЬ: В ответ на комментарии @BKay, @Ubiquitous. Моя проблема с тем, чтобы начать с экономик с товарами и принять предел при n → ∞, состоит в том, что это должно сопровождаться аргументом, который показывает, что предел оптимума является оптимальным решением проблемы предела. Я был бы признателен за ссылку на результат, который показывает это либо для этой конкретной проблемы, либо общий результат, который применим к этой проблеме.$n$$n \to \infty$

В ответ на @AlecosPapadopoulos. Доказательства метода множителя Лангранжа, который преподается в математике для экономических курсов, обычно для конечного числа переменных выбора. Я был бы признателен за ссылку на то, где метод оправдан для континуума выбора переменных. Кроме того, упомянутая выше неединственность показывает, что метод не может быть абсолютно правильным. Тогда какие именно квалификации необходимы для его действительности?

Совершенно строгое было бы написать уравнение Эйлера-Лагранжа для этой задачи вариационного исчисления, это даст вам сильное решение, которое вы имеете, или слабое решение, записанное относительно распределения.

Как отметил ОП в комментарии, теорема 1 в разделе 12 вариационного исчисления Коломогорова и Фомина, кажется, дает некоторое утешение, что мы действительно можем использовать метод множителя Лангранжа, когда число наших переменных бесконечно. Тем не менее, авторы делают это в сноске, написав «читатель легко узнает аналогию с множителями Лангранжа». Так что нет, это не совсем показывает, чего мы хотим.

Я думаю, что нам нужна бумага, такая как Craven, BD (1970). Обобщение множителей Лагранжа. Бюллетень Австралийского математического общества, 3 (03), 353-362. который в своем резюме пишет:

Обобщен метод множителей Лагранжа для решения ограниченной стационарной задачи, позволяющий функциям принимать значения в произвольных банаховых пространствах (над вещественным полем). Показано, что множество множителей Лагранжа в конечномерной задаче заменяется непрерывным линейным отображением между соответствующими банаховыми пространствами.

Это говорит по математике, но говорит о том, что мы хотели услышать (можно также найти краткую экспозицию в Википедии до такой степени, что она доверяет содержанию).

Тогда мы можем сформировать лагранжеву задачи

$$\Lambda = \int_0^1 c_i^\theta\,\text{d}i +\lambda\left(M - \int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i\right)$$

и вычислить условие (я) первого порядка, неофициально говоря, «глядя на интеграл и видя сумму»,

$$\frac{\partial \Lambda}{\partial c_i} = 0 \Rightarrow \theta c_i^{\theta-1} = \lambda p_i, \;\; i \in [0,1] \tag{1}$$

... континуум условий. Для дальнейшего использования мы определяем

$$\sigma \equiv 1/(1-\theta), \Rightarrow 1-\theta = 1/\sigma, \;\; \theta = \frac {\sigma-1}{\sigma}$$

Можно показать, что константа является эластичностью замещения между любыми двумя товарами.$\sigma$

Записывая для товара j и приравнивая через общий множитель Лагранжа, мы приходим к$(1)$$j$

$$c_i = \left(\frac {p_i}{p_j}\right)^{-\sigma}c_j \tag{2}$$

Умножим обе стороны на и возьмем интеграл по товарному пространству по i :$p_i$$i$

$$\int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i = \int_0^1 p_i^{1-\sigma}p_j^{-\sigma}c_j\,\text{d}i$$

$$\Rightarrow M = p_j^{\sigma}c_j\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i$$

$$\Rightarrow c_j = p_j^{-\sigma} \cdot M \cdot \left(\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i\right)^{-1} \tag{3}$$

который является маршаллианским спросом на товар .$j$

Это просто уточнение ответа, данного @ user157623. Для удобства я публикую его как вики сообщества.

Теорема 1 раздела 12 Колмогорова и вариационное исчисление Фомина гласит:

$$J[y] = \int_a^b F(x,y,y')\,dx,$$ $$y(a)=A,\quad y(b)=b, \quad K[y] = \int_a^bG(x,y,y')\,dx=l,$$ $K[y]$$J[y]$$y=y(x)$$y=y(x)$$K[y]$$\lambda$$y=y(x)$ $$\int_a^b (F+\lambda G)\,dx,$$ $y=y(x)$ $$F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}+\lambda\left(G_y-\frac{d}{dx}G_{y'}\right)=0.$$

$x$$i$$c$$y$$F(i,c,c')=c^\theta$$G(i,c,c')=pc$

$$\theta c_i^{\theta-1} + \lambda p_i=0$$

$K[y]$$y(a)$$y(b)$$c$$c^*(i)$$c(0)=c^*(0), c(1)=c^*(1)$

Единственный улов в природе самой теоремы. Это дает необходимые условия для оптимального. Учитывая, что в нашем случае необходимое условие дает уникальный результат, все, что нам нужно, чтобы сделать его достаточным, - это утверждать, что у нашей проблемы есть решение.

В доказательствах Колмогорова-Фомина предполагается, что функции, с которыми мы имеем дело, имеют непрерывные первые производные. Таким образом, нам все еще нужно показать, что проблема потребителя имеет оптимальные функции в этом классе функций, но, учитывая, что проблема решена.