Конкурсная игра: условие второго порядка выполнено, но отрицательная прибыль?

2

Следующее взято из Nti (1999)

Рассмотрим игру для двух игроков, в которой каждый прилагает усилия, пытаясь выиграть приз. Пусть будет оценкой приза игрока 1, и пусть V 2 будет оценкой игрока 2 , где 0 < V 1 < V 2 . Игрок 1 и 2 затрачивают усилия x 1 и x 2 соответственно, чтобы выиграть приз p = 1 . Стоимость усилий составляет 1 за единицу. Учитывая профиль уровней усилий ( х 1 , х 2V11V220<V1<V212x1x2p=11x1x2), вероятность того, что игрок i выиграет приз, принимает симметричную форму

pi(x1,x2)=xirx1r+x2r

- возврат к масштабному параметру, связанному с усилием r > 0 . Прибыльrr>0

πi(x1,x2)=vixirx1r+x2rx1

В равновесии (Нэш-Курно) игрок прилагает усилие x i : x i = r v r + 1 i v r - iixi

xi=rvir+1vir(v1r+v2r)2

Если оба следовать стратегии равновесия, «S вероятность выигрыша Р я = v г яi . Вставка этих двух во второе уравнение для игрока 1 (с упрощением) даетPi=virv1+v2r

π1(x1,x2)=v1r+1(v1r+v2r)2[v1r+v2rrv2r]

2π1x12=rv11rx2rx12r2(x1r+x2r)3[rv2rv2rv1rrv1r]

rv2rv2rv1rrv1r<0

x1π1(x1,x2)0

v1r+v2r>rv2r

v1r+v2r>rv2r

pafnuti
источник

Ответы:

3

Ну, это говорится в статье на с. 423:

«Таким образом, допущение достаточности подразумевает уникальное чисто стратегическое равновесие. И если допущение достаточности нарушается, по крайней мере, один игрок получит отрицательный выигрыш; этот игрок может улучшить свое положение, уменьшив свои усилия до нуля , что разрушит равновесие». [Акцент мой]

Так что этот игрок не приложит никаких усилий, потому что он / она не может выиграть. Я оставляю это вам, чтобы выяснить, что лучший ответ от другого игрока в этом случае.

Я полагаю, что для полной математической корректности нужно было бы сформулировать игры такого типа с ограничениями неотрицательности, но поскольку это усложняет анализ, их часто не учитывают, и внутреннее равновесие либо предполагается, либо, как здесь, проверяется впоследствии.

Мартен Пунт
источник
ИМО Ваш средний абзац не нужен для этого ответа и создает путаницу.
Жискард