Конкурсная игра: условие второго порядка выполнено, но отрицательная прибыль?

Следующее взято из Nti (1999)

Рассмотрим игру для двух игроков, в которой каждый прилагает усилия, пытаясь выиграть приз. Пусть будет оценкой приза игрока 1, и пусть V 2 будет оценкой игрока 2 , где 0 < V 1 < V 2 . Игрок 1 и 2 затрачивают усилия x 1 и x 2 соответственно, чтобы выиграть приз p = 1 . Стоимость усилий составляет 1 за единицу. Учитывая профиль уровней усилий ( х 1 , х $V_1$$1$$V_2$$2$$0<V_1< V_2$$1$$2$$x_1$$x_2$$p=1$$1$$x_1$$x_2$), вероятность того, что игрок i выиграет приз, принимает симметричную форму

$$p_i(x_1,x_2)=\frac{x_i^r}{x_1^r+x_2^r}$$

- возврат к масштабному параметру, связанному с усилием r > 0 . Прибыль$r$$r>0$

$$\pi_i(x_1,x_2)=v_i\frac{x_i^r}{x_1^r+x_2^r}-x_1$$

В равновесии (Нэш-Курно) игрок прилагает усилие x ∗ i : x ∗ i = r v r + 1 i v r - $i$$x_i^*$

$$x_i^*=\frac{rv_i^{r+1}v_{-i}^r}{(v_1^r+v_2^r)^2}$$

Если оба следовать стратегии равновесия, «S вероятность выигрыша Р я = v г $i$ . Вставка этих двух во второе уравнение для игрока 1 (с упрощением) дает$P_i=\frac{v_i^r}{v_1+v_2^r}$

$$\pi_1(x_1^*,x_2^*)=\frac{v_1^{r+1}}{(v_1^r+v_2^r)^2}\big[v_1^r+v_2^r-rv_2^r\big]$$

$\frac{\partial^2\pi_1}{\partial{x_1^2}}=\frac{rv_1^{1-r}x_2^rx_1^{2r-2}}{(x_1^r+x_2^r)^3}\big[rv_2^r-v_2^r-v_1^r-rv_1^r\big]$

$$rv_2^r-v_2^r-v_1^r-rv_1^r<0$$

$x_1^*$$\pi_1(x_1^*,x_2^*)\geq0$

$$v_1^r+v_2^r>rv_2^r$$

$v_1^r+v_2^r>rv_2^r$

Ну, это говорится в статье на с. 423:

«Таким образом, допущение достаточности подразумевает уникальное чисто стратегическое равновесие. И если допущение достаточности нарушается, по крайней мере, один игрок получит отрицательный выигрыш; этот игрок может улучшить свое положение, уменьшив свои усилия до нуля , что разрушит равновесие». [Акцент мой]

Так что этот игрок не приложит никаких усилий, потому что он / она не может выиграть. Я оставляю это вам, чтобы выяснить, что лучший ответ от другого игрока в этом случае.

Я полагаю, что для полной математической корректности нужно было бы сформулировать игры такого типа с ограничениями неотрицательности, но поскольку это усложняет анализ, их часто не учитывают, и внутреннее равновесие либо предполагается, либо, как здесь, проверяется впоследствии.