Может ли седловая дорожка не пройти происхождение в модели Рамси?

В моем случае функция полезности - CEIS и дискретная, производственная функция - , бюджетное ограничение - f ( k t ) + ( 1 - δ ) k t = c t + k t + 1 . Я использую матрицу Якоби и факторизацию Шура, чтобы получить линеаризованную функцию политики для потребления, поэтому я могу построить седловую дорожку и неустойчивые руки. В конце они выглядят так, как показано ниже. Тем не менее, я прочитал, что седловая дорожка должна проходить через начало координат, что неправильно в моем сюжете.$f(k_{t})=k_{t}^\alpha$$f(k_{t})+(1-\delta)k_{t}=c_{t} + k_{t+1}$

Поэтому мой вопрос: всегда ли путь седловины проходит через начало координат?

Я предполагаю, что вы уже прошли алгебру ниже, но для контекста проблема, которую вы пытаетесь решить,

$$\max_{c}\sum_{t=0}^{+\infty}\beta^t u(c_t) \\ \text{s.t.}~~ f(k_t) + (1- \delta)k_t = c_t + k_{t+1} \tag{1}$$

$f(k_t) = k_t^\alpha$

$$u(c_t) = \frac{c_t^{1-\gamma}}{1-\gamma} - 1 \tag{2}$$

Задача в (1) может быть сведена к двум связанным уравнениям

$$\begin{eqnarray} u'(c_t) &=& \beta[1 + f'(k_{t+1}) - \delta]u'(c_{t+1}) \\ k_{t+1} &=& f(k_t) + (1-\delta)k_t - c_t \tag{3} \end{eqnarray}$$

$u'(x) = x^{-\gamma}$$f'(x) = \alpha x^{\alpha-1}$$c_{t+1}$$(k_t,c_t)$

$$\begin{eqnarray} c_{t+1} &=& \beta^{1/\gamma}c_t [1 + \alpha[k_t^\alpha + (1-\delta)k_t - c_t]^{\alpha-1} - \delta]^{1/\gamma} \\ k_{t+1} &=& f(k_t) + (1-\delta)k_t - c_t \tag{4} \end{eqnarray}$$

Который может быть выражен как

$${\bf x}_{t+1} = {\bf F}({\bf x}_{t})~~~\mbox{with}~~~ {\bf x}_t = \left(\begin{array}{c}c_{t}\\k_{t}\end{array}\right) \tag{5}$$

${\bf x}^*$${\bf F}$

$${\bf x}^* = {\bf F}({\bf x}^*) \tag{6}$$

$\gamma=2$$\beta=0.9964$$\alpha=0.36$$\delta=0.025$

$${\bf x}^* = \left(\begin{array}{c}c^*\\k^*\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}2.84829\\52.2808\end{array}\right) \tag{7}$$

${\bf F}$${\bf x}^*$

$${\bf y}_{t+1} = {\bf J}{\bf y}_t ~~~\mbox{where}~~~ {\bf y}_t = {\bf x}_{t} - {\bf x}^*, ~~~ {\bf J} = \left.\frac{\partial{\bf J}}{\partial {\bf x}}\right|_{{\bf x} = {\bf x}^*} \tag{8}$$

${\bf y} = 0$