Тождества Роя для полезных функций Стоуна-Гири

У меня проблемы с отображением идентификатора Роя для следующей полезной функции Stone-Geary:

$$U(x)=\prod_{i=1}^n\left(x_i-\gamma_i\right)^{\beta_i}$$

где и γ i - минимальное потребление x i .$\sum \beta_i=1$$\gamma_i$$x_i$

Я показал, что спрос Маршалла (который я подтвердил, используя несколько источников)

$$x_i=\gamma_i+\frac{\beta_i\left(I-\sum_{j=1}^np_j\gamma_j\right)}{p_i}$$

Следовательно, косвенная функция полезности

$$V(x)=\prod_{i=1}^n\left(\frac{\beta_i \left(I-\sum_{j=1}^np_j\gamma_j \right)}{p_i} \right)^{\beta_i}$$

Я применил монотонное преобразование для упрощения косвенной функции полезности:

$$W(x)=\sum_{i=1}^n\beta_i\left(\left(\ln(\beta_i)+\ln \left(I-\sum_{j=1}^np_j\gamma_j \right)\right)-\ln(p_i)\right)$$

Следовательно,

$$\frac{\delta W}{\delta p_i}=\frac{-\beta_i\gamma_i}{I-\sum_{j=1}^np_j\gamma_j}-\frac{\beta_i}{p_i}$$

$$\frac{\delta W}{\delta I}=\frac{\beta_i}{I-\sum_{j=1}^np_j\gamma_j}$$

$$-\frac{\delta W / \delta p_i}{\delta W / \delta I}=\gamma_i+\frac{I-\sum_{j=1}^np_j\gamma_j}{p_i}$$

По сути, как видите, что-то не складывается: в числителе отсутствует . Таким образом, неравенство Роя не проверяется. Где я все испортил?$\beta_i$

(Примечание: я также пытался без преобразования. Это гораздо более утомительный процесс, но он дал тот же ответ; все еще отсутствовал)$\beta_i$

$\ln$

$$\sum_{i=1}^n p_i \gamma_i < I$$

В любом случае, ваша ошибка в производных, которые вы найдете. Вот правильные выражения:

$$\frac{\partial W}{\partial p_i} = -\gamma_i \sum_{j=1}^n \frac{\beta_j}{I - \sum_{k=1}^n p_k \gamma_k} - \frac{\beta_i}{p_i} = -\frac{\gamma_i}{I - \sum_{j=1}^n p_j \gamma_j} - \frac{\beta_i}{p_i}$$

$$\frac{\partial W}{\partial I} = \sum_{j=1}^n \frac{\beta_j}{I - \sum_{k=1}^n p_k \gamma_k} = \frac{1}{I - \sum_{j=1}^n p_j \gamma_j}$$

Затем личность Роя дает вам маршаллианское требование, которое вы изначально и правильно получили.