Доказательства в Приложении А Санникова (2007)

У меня есть несколько вопросов о доказательствах в Приложении A Санникова (2007), Игры с неидеально наблюдаемыми действиями в непрерывном времени .

1. В лемме 4, когда он показывает липшицеву непрерывность в , он выводит вспомогательную функцию , берет ее производную и ограничивает эту производную (стр. 41). Как он это связывает? Что такое? Как он может связать фактор, связанный с и ?$H_a(w,\theta)$$\theta$$F(\theta^\prime)$$|\mathcal{V}|$$\beta^1$$\beta^2$
2. В предложении 4 почему липшицева непрерывность объективной гарантии непрерывности функции стоимости? Это просто следует из максимальной теоремы ? Если так, то зачем нам непрерывность по Липшицу?
3. Также в предложении 4: почему первоначальная кривизна является положительной гарантией того, что она остается положительной?
4. Как идемпотентность гарантирует, что ?$Q_i(a)$$\bar{Q} \geq 1$