Условие диагональной строгой вогнутости Розена

Рассмотрим игру с игроками, с стратегией пространства S ⊂ R , где S является ограниченное множество, и игрока я функции выигрыша π I : S п → R . Условие Розена ( Дж. Б. Розен. Существование и единственность точек равновесия для вогнутых игр с n людьми. Econometrica, 33 (3): 520–534, 1965 ) для уникальности равновесия Нэша в игре n игроков гласит, что уравнение будет уникальным, когда$n$$S \subset \mathbb{R}$$S$$i$$\pi_i:S^n \rightarrow \mathbb{R}$

1. функция выплаты вогнут в своей стратегии$\pi_i(\textbf{s}) \; i \in N$
2. Существует вектор ( ( ∀ i ∈ N ) ( z i ≥ 0 ) ∧ ( ∃ i ∈ N ) ( z i > 0 ) такой, что функция σ ( s , z ) = ∑ n i = 1 z i π i ( s ) по диагонали строго вогнутый$\textbf{z}$$(\forall i \in N)(z_i \geq 0)\ \wedge (\exists i \in N) (z_i >0)$$\sigma(\mathbf{s}, \mathbf{z})=\sum_{i=1}^{n}z_i\pi_i({\textbf{s}})$

обозначает множество игроков.$N$

Чтобы определить понятие диагональной строгой вогнутости, сначала введем «псевдоградиент» функции , определенный с помощью: g ( s , z ) = ( z 1 ∂ π 1 ( s$\sigma$ Тогда функцияσназываетсястрого диагонально доминантнойвs∈Sпри фиксированномz≥0,если для каждогоs0,s1∈S имеетместо следующее: (s1-s0)′g(s0,z)+(s0-s1)′g(s1

$$\begin{align} g(\mathbf{s},\mathbf{z}) = \begin{pmatrix} z_1\frac{\partial \pi_1(\mathbf{s})}{\partial s_1} \\ z_2\frac{\partial \pi_2(\mathbf{s})}{\partial s_2} \\ ... \\ z_n\frac{\partial \pi_n(\mathbf{s})}{\partial s_n}% \end{pmatrix} \end{align}$$ $\sigma$$\mathbf{s} \in S$$\mathbf{z} \geq 0$$\mathbf{s}^0, \mathbf{s}^1 \in S$ $$\begin{align} (\mathbf{s}^1 - \mathbf{s}^0)'g(\mathbf{s}^{0}, \mathbf{z}) + (\mathbf{s}^0 - \mathbf{s}^1)'g(\mathbf{s}^{1}, \mathbf{z})>0 \end{align}$$

$\sigma$$\left[G(\mathbf{x}, \mathbf{z}) +G(\mathbf{x}, \mathbf{z})' \right]$$\mathbf{s} \in S$$G(\mathbf{x}, \mathbf{z})$$g$$\mathbf{s}$

$\sigma(s,z)$$\sigma$$g(s,z)$

$\sigma$