Квазилинейная полезность: оптимальность по Парето подразумевает полное увеличение полезности?

Я читал, что если у нас есть квазилинейная полезность для всех потребителей, то любое парето-оптимальное распределение максимизирует сумму уровней полезности всех потребителей. Это:

$\textbf{What we know:}$

1) u^{i} (m^{i}, x^{i}) = m^{i} + ϕ^{i} (x^{i}) \forall i = 1, . . ., I

$1)\quad u^i(m^i,x^i)=m^i+\phi^i(x^i)\; \quad \forall i=1,...,I$

2) ϕ^{i} () is continous and strictly increasing (but not necessarily differentiable)

$2)\quad\phi^i(\;)\;\text{is continous and strictly increasing (but not necessarily differentiable)}$

3) An allocation, x satisfies \neg \exists \hat{x} s . t . {\hat{m}}^{i} + ϕ^{i} ({\hat{x}}^{i}) \geq m^{i} + ϕ (x^{i}) \forall i

$3)\quad \text{An allocation,}\,x\, \text{satisfies}\;\neg\,\exists\,\hat{x}\; s.t. \;\hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)\geq m^i+\phi(x^i)\;\forall i$

and {\hat{m}}^{i} + ϕ^{i} ({\hat{x}}^{i}) > m^{i} + ϕ (x^{i}) for some i

$\text{and} \quad \hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)> m^i+\phi(x^i)\,\text{for some}\,i$

$\textbf{What to show:}$

x solves m a x \sum_{i = 1}^{I} m^{i} + ϕ^{i} (x^{i})

$x\;\text{solves}\;max\sum_{i=1}^Im^i+\phi^i(x^i)$

Кто-нибудь может предоставить доказательство этого? Любая помощь будет принята с благодарностью!

$\textbf{Edit:}\,$ я не знаю, правильный ли это путь, но благодаря строгому возрастающему свойству предпочтения удовлетворяют локальному ненасыщению, что означает, что они удовлетворяют первой теореме благосостояния. Теперь, если бы я мог выяснить, все ли оптимальные по Парето распределения являются конкурентными равновесиями с квазилинейной полезностью, я мог бы кое-что понять! $\phi(\,)$

microeconomics pareto-efficiency proof DornerA
источник

Вы уверены, что под совпадает с под ? Бюджет / ресурсное ограничение, похоже, отсутствует. И с этим, вы должны быть в состоянии получить то, что вы хотите, суммируя неравенства в (3) над .

m^{i}

$m^i$

{\hat{x}}^{i}

$\hat x^i$

m^{i}

$m^i$

x^{i}

$x^i$

i

$i$

Герр К.

@HerrK. Это отличная точка зрения и довольно смущающая моя ошибка, я изменю это

DornerA

Есть ли свойства для функции X? Например, если оно строго увеличивается, но вогнуто, то распределение ПО, когда один агент получает общий вклад, должно давать меньшую общую полезность, чем равномерное распределение этого распределения между двумя агентами.

123

@ 123 нет никаких других предположений относительно кроме перечисленных выше, к сожалению

ϕ^{i} (\frac{}{})

$\phi^i(\frac{}{})$

DornerA

Ответы:

Редактировать: крайние случаи отстой; смотрите комментарии. См. Также MWG, глава 10, раздел C, D.

Предположим, что решает $(\vec x^*, \vec m^*)$

max \sum_{i = 1}^{I} m_{i} + ϕ_{i} (x_{i})

$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$

но не является оптимальным по Парето.

\begin{aligned} ⟹ \exists (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) s.t. & u_{i} (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) \geq u_{i} (x_{i}^{*}, m_{i}^{*}) \forall i = 1, \dots, I \\ u_{i} (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) > u_{i} (x_{i}^{*}, m_{i}^{*}) for some i \end{aligned}

$\begin{align} \implies \exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad & u_i(x_i', m_i') \geq u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \forall \ i = 1,\cdots,I \\ & u_i(x_i', m_i') > u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \text{for some} \ i \end{align}$

⟹ \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{'} + ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{*} + ϕ_{i} (x_{i}^{*})

$\implies \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)$

что противоречие. Если у нас есть решение задачи максимизации полезности, оно должно быть оптимальным по Парето.

(Обратите внимание, что это происходит из непрерывных и растущих свойств ) $\phi(\cdot)$

Предположим, что является выполнимым оптимальным по Парето распределением, но не решает $(\vec x^*, \vec m^*)$

max \sum_{i = 1}^{I} m_{i} + ϕ_{i} (x_{i})

$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$

Поскольку мы рассматриваем как числительное, а строго увеличивается, мы знаем, что локально ненасыщен. Распределение по Парето должно быть просто осуществимым. $m_i$ $\phi_i(\cdot)$ $u_i(\cdot)$

\exists (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) s.t. \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{'} + ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{*} + ϕ_{i} (x_{i}^{*}) ⟹ \sum_{i = 1}^{I} ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} ϕ_{i} (x_{i}^{*})

$\exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)\\ \implies \boxed{ \sum^I_{i=1} \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} \phi_i(x^*_i)}$

Если это так, потому что это альтернативное распределение просто дает индивиду больше , при прочих равных условиях, то альтернативное распределение невозможно. Так что у нас будет противоречие. $x$

Если это так, потому что в альтернативном распределении кому-то еще выделяется больше а одному другому назначается меньше, то исходное распределение не будет оптимальным по Парето. Предположим, что это было. Если вы взяли исходное распределение и сместили на пути нового распределения, то вам понадобится соответствующая сделка в числовом товаре , чтобы сохранить тот, кто теряет по крайней мере, на том же уровне полезности. Но торговля только числовым товаром никогда не может изменить суммарную полезность . Из исходного распределения, если вы можете обменять на $x$ $x$ $m$ $x$ $m$ $x$ и сделать кого-то лучше, не причинив никому вреда, у вас не было оптимума по Парето, и если вы не можете обменять на чтобы сделать кого-то лучше, вы не можете увеличить суммированную агрегированную полезность, что означает Решение проблемы максимизации. $m$ $x$

Эта логика применяется независимо от того, как вы переставляете между несколькими людьми. $x$

$\square$

Кицунэ кавалерия
источник

Я вижу, что ОП принял этот ответ, но это не доказывает его фактическое предложение. OP утверждает, что любое распределение PO решает данную проблему максимизации. Это доказательство показывает, что решением проблемы максимизации является ПО. Однако этот результат немедленно следует из того факта, что функция полезности проясняет, что предпочтения удовлетворяют локальному ненасыщению. И мы знаем, что не обязательно существует биекция между точками CE и PO. Первоначальное предложение, скорее всего, ложно, в зависимости от ограничений, наложенных на функцию X. (Использование телефона настолько сложно, чтобы использовать LaTex - извините.)

123

Я не думаю, что это утверждение верно в стандартных условиях чистой экономики обмена. Вот контрпример: economics.stackexchange.com/a/15146/11824

Амит

@ Думаю, ты прав. Однако утверждение, кажется, выполняется с дополнительным условием, что распределение PO таково, что для всех потребителей : . Или в качестве альтернативы, если проблема допускает отрицательные значения для . В этом случае ваш контрпример не будет PO.

(x, m)

$(x,m)$

i

$i$

m_{i} > 0

$m_i>0$

m_{i}

$m_i$

Жискар

@KitsuneCavalry Здесь кроется ошибка: «Исходное распределение: если вы можете обменять на и сделать кого-то лучше, никому не причинив вреда, вы не достигли оптимального значения по Парето, и если вы не можете обменять на чтобы сделать кому-то лучше, вы не можете увеличить суммированную совокупную полезность ... "или вы не можете совершить сделку, потому что это нарушит ограничение неотрицательности. Бу, мошенник! : D Верни 50 очков: D

m

$m$

x

$x$

m

$m$

x

$x$

Жискар

@denesp Я согласен, что результат верен, если мы позволим быть любым действительным числом или только строго положительным действительным числом для всех .

m_{i}

$m_i$

i

$i$

Амит

Я не думаю, что это правда в стандартной чистой обменной экономике, о которой идет речь. Рассмотрим следующий контрпример:

$I = \{1,2\}$ и и . $u_1(x_1, m_1) = \sqrt{x_1} + m_1$ $u_2(x_2, m_2) = \sqrt{x_2} + m_2$

и пусть набор возможных распределений будет

$\{((x_1, m_1), (x_2, m_2))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+: x_1+x_2 = 2, m_1+m_2 = 2 \}$ .

Обратите внимание, что распределение эффективно по Парето, но не максимизирует сумму коммунальных услуг. Причина в том, что распределение дает более высокую сумму. $a_1 = ((x_1, m_1), (x_2, m_2)) = ((2,2),(0,0))$ $a_2 = ((1,1),(1,1))$

$u_1(2,2) + u_2(0,0) = \sqrt{2} + 2 < 2 + 2 = u_1(1,1) + u_2(1,1)$ .

Amit
источник

@DornerA ваши мысли по этому поводу?

Жискар

Я полагаю, что вы имеете в виду следующий результат: любое распределение PE максимизирует , но трудно точно знать, так как вы не относитесь конкретно к технико - экономическое обоснование. $\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$

Позвольте мне быть более конкретным. Для каждого , . Выделение: . Набор возможных распределений: . Утилита из имеет вид , где строго увеличивается. $i\in\{1,\ldots,I\}$ $(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}$ $a=(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}$ $F=\{(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}|(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}\forall i\in\{1,\ldots,I\},\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x},\sum_{i=1}^{I}m_{i}\leq c_{m}\}$ $i\in\{1,\ldots,I\}$ $a\in F$ $u_{i}(a)=m_{i}+\phi_{i}(x_{i})$ $\phi_{i}$

Определение распределения PE является стандартным: является PE, если такой, что для всех и для некоторых . $a\in F$ $\nexists a'\in F$ $u_{i}(a')\geq u_{i}(a)$ $i$ $u_{i}(a')>u_{i}(a)$ $i$

Теперь я утверждаю, что если является PE, то является решением , или, делая максимизация в отношении явного s, st . $a$ $a$ $\displaystyle\max_{a\in F}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $x_{i}$ $\displaystyle\max_{(x_{i})_{i=1}^{I}\in\mathbb{R}_{+}^{I}}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x}$

Я не собираюсь доказывать утверждение здесь, но основная идея проста и заключается в следующем. Предположим, является PE, но не решает проблему максимизации. Тогда мы можем найти другое возможное такое, что . Правда, в , относительно , прибывающие агенты находятся в худшем положении, но мы можем использовать деньги, s, чтобы сделать их такими же хорошими, как и , и при этом остаться с некоторыми деньгами, так как мы увеличили сумму полезности, полученную от s. $a^{*}$ $a'$ $\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}')>\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}^{*})$ $a'$ $a^{*}$ $m_{i}$ $a^{*}$ $x_{i}$

Другой способ сказать, что сумма полезности из равна . Теперь любое безотходное распределение будет иметь первый член, идентичный. $a\in F$ $\sum_{i=1}^{I}m_{i}+\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $a\in F$

Еще один способ думать об этом состоит в том, что s определяют размер пирога, а деньги, s, определяют перераспределение. По квазилинейности, уменьшение на одну единицу и увеличение на одну единицу оставляет без изменений. Это не верно для и . $x_{i}$ $m_{i}$ $m_{i}$ $m_{j}$ $m_{i}+m_{j}$ $x_{i}$ $x_{j}$

Это также подразумевает, что любой который решает проблему максимизации, является PE. $a\in F$

январь
источник

Вы читали два других ответа? Один в основном утверждает то же самое. Другой предоставляет контрпример.

Жискар

@denesp Да, я читаю ответы и говорю другое. Два ответа говорят о максимизации суммы коммунальных услуг, я говорю о максимизации суммы из s. В контрпримере критическое предположение состоит в том, что . Если для , то то, что я говорю, применимо. Какое предположение «стандарт» является спорным. Я был воспитан MWG.

x_{i}

$x_{i}$

m_{i} \geq 0

$m_{i}\geq0$

\forall i \in {1, 2}

$\forall i\in\{1,2\}$

m_{i} \in R

$m_{i}\in\mathbb{R}$

i \in {1, 2}

$i\in\{1,2\}$

Jan

Еще один комментарий, Mas-Colell, Whinston, глава 10 Грина, особенно части C и даже, в частности, часть D, являются хорошим учебным пособием по вопросу, который задает OP.

Jan