Является ли этот многогранник «упаковки подгрупп» интегральным?

Пусть - конечная абелева группа, а - многогранник в определенный как точки удовлетворяющие следующим неравенствам:P R Γ$\Gamma$$P$$\mathbb{R}^\Gamma$$x$

где означает, что является подгруппой . Является ли целым? Если да, можем ли мы охарактеризовать его вершины?G Γ $G \le \Gamma$$G$$\Gamma$$P$

Мой вопрос изначально возник с , где несколько небольших примеров ( ) предполагают, что ответ «да» и «возможно, но это не просто». Я также попробовал циклическую группу на 9 и 10 элементах, а также , где снова многогранник является целым. Многогранник не является целочисленным, когда является любым из , и , поэтому абелевость, по-видимому, необходима. n = 2 , 3 F 2 $\Gamma = \mathbb{F}_2^n$$n = 2,3$$\mathbb{F}_3^2$S 3 D 4 D $\Gamma$$S_3$$D_4$$D_5$

Я должен отметить, что если вы напишите первый набор уравнений как , то не обязательно будет полностью унимодулярным (что подразумевает, что многогранник является целым). Когда , вы можете выбрать три линейно независимых и взять три , натянутые на каждую пару выбранных элементов . Результирующая подматрица равна точностью до перестановки, поэтому имеет определитель .A Γ = F 3 2 g G g [ 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ] ± $Ax \ge b$$A$$\Gamma = \mathbb{F}_2^3$$g$$G$$g$

Легко (если утомительно) охарактеризовать вершины для групп простого порядка и заметить, что они целочисленные. Я почти уверен, что это можно распространить на циклические группы с порядком первичной власти. Я не уверен, что происходит при приеме продуктов.

Эта система очень напоминает те, которые определяют полиматроиды , но вместо функции субмодульного набора ограничения являются «функцией подгруппы», которая, как я подозреваю, является «субмодульной», когда она определена правильно. Тем не менее, методы для показа определенных полиматроидов являются неотъемлемой частью здесь, но я не понимаю, как это сделать.

Кроме того, анализ Фурье может быть уместным: когда , кажется, что вершины, максимизирующие являются точно точкой с для всех , а также с где - это символ Фурье (в соответствии со стандартными обозначениями из анализа булевых функций), а непусто. (Когда пусто, соответствующей точкой является , которая также является вершиной.) ∑ g x g x g = 1 g x g = 1 - χ S ( g ) χ S S S S x g = $\Gamma = \mathbb{F}_2^n$$\sum_g x_g$$x_g = 1$$g$$x_g = 1 - \chi_S(g)$$\chi_S$$S$$S$$S$$x_g = 0$

Эндрю (спрашивающий) и я обсуждали это по электронной почте, и мы показали, что гипотеза неверна. Многогранник не является целым для абелевых групп, даже для циклических групп.

С положительной стороны.

Теорема . Для циклических групп с порядком , где p и q - простые числа, а k ∈ N , матрица инцидентности элементов и подгрупп вполне унимодулярна.$p^kq$$p$$q$$k\in \mathbb{N}$

Это потому, что семейство подгрупп представляет собой объединение двух ламинарных семейств.

Следовательно, это показывает, что наименьший контрпример для циклических групп должен иметь порядок не менее . Это фактически объясняет, почему не был найден маленький контрпример.$2\times 3\times 5 =30$

Эндрю провел несколько вычислений и нашел контрпример для циклической группы порядка .$30$

Контрпример : , х 2 = $x_0=1/2$,х3=$x_2=\frac{30}{2}-\frac{1}{2}=29/2$,х5=$x_3=\frac{30}{3}-\frac{1}{2}=19/2$, и0везде. Нетрудно проверить, возможно ли это. Здесь я перефразирую доказательство Эндрю, что это на самом деле вершина. Есть30жестких ограничений. Ограничение всей группы, три подгруппы, порожденные2,3и5соответственно, и ограничения неотрицательности. Поскольку у нас есть30переменных,xявляется вершиной.$x_5=\frac{30}{5}-\frac{1}{2}=11/2$$0$$30$$2,3$$5$$30$$x$

$\mathbb{F}_2^n$$n$$\mathbb{F}_2^4$