Существуют ли высокосимметричные NP- или P-полные языки?

Существует ли , NP- или P-полный язык, имеющий некоторое семейство групп симметрии (или группоид , но тогда алгоритмические вопросы становятся более открытыми), действующий (за полиномиальное время) на множествах такой, что орбит мало, т. е. такой, что для достаточно больших и некоторого c , и таких, что G_n может быть сгенерирован эффективно при n ?$L$$G_n$$L_n = \{ l \in L \mid |l| = n \}$$|L_n / G_n| < n^c$$n$$c$$G_n$$n$

Суть в том, что если кто-то найдет такой язык / группу, как этот, и если можно найти нормальные формы при действиях полиномиальной временной группы в $\mathrm{FP}$ , то можно уменьшить $L$ на сокращение $\mathrm{PTIME}$ до разреженный язык путем вычисления нормальной формы для любого данного $N$ , подразумевая, что $\mathrm{P = NP}$ или $\mathrm{L = P}$в зависимости от того, выбрали ли вы изначально NP- или P-полный язык, соответственно. Таким образом, кажется, что либо нет таких групп с разреженными орбитами, либо что вычисление нормальных форм затруднительно для всех таких групп, или один из этих результатов будет верен, и я думаю, что большинство из нас не верят. Также может показаться, что если можно вычислить отношение эквивалентности по орбитам вместо нормальных форм, то все равно можно сделать это неравномерно в $\mathrm{P/poly}$ . Надеюсь, что у некоторых людей есть мысли по этому поводу.

Для NP это сложно построить. В частности, если вы можете также выбрать (почти) однородные элементы из вашей группы - что верно для многих естественных способов построения групп - тогда, если NP-полный язык имеет групповое действие с несколькими временами с несколькими орбитами, PH рухнет. Поскольку, с этим дополнительным предположением о возможности выборки, стандартный протокол для изоморфизма графов также работает для проверки, находятся ли две строки в одной и той же орбите. Тогда у нас будет , поэтому PH сворачивается в . Таким образом, чтобы избежать коллапса PH, любая такая конструкция для NP должна была бы иметь группы, которые не имели бы эффективного почти равномерного пробоотборника.$\mathsf{coAM}$$G_n$$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{coAM/poly} = \mathsf{coNP/poly}$$\mathsf{ZPP}^{\mathsf{NP}}$

Моя интуиция заключается в том, что NP-полный язык этого типа вызовет коллапс полиномиальной иерархии, очень похожий на теорему Карпа – Липтона.

Более конкретно, если вы поднимаетесь на второй уровень полиномиальной иерархии, вы можете использовать силу иерархии, чтобы угадать эквивалентность между данным элементом группы и некоторым представителем класса эквивалентности, и затем вы вернетесь к Карпу. –Липтон-случай, когда тот факт, что у вас есть полиномиально много неэквивалентных входов, ставит вас в P / poly.

(Результат должен совпадать с ответом Джошуа Грохова, но без дополнительного предположения о возможности выбора).