Сложность задачи о пересечении смежных классов

17

При условии, что группа симметрии и две подгруппы и , имеет ли место ?SnG,HSnπSnGπH=

Насколько я знаю, эта проблема известна как проблема пересечения смежных классов. Мне интересно, в чем сложность? В частности, известна ли эта проблема в coAM?

Более того, если ограничено абелевым, то чем становится сложность?H

Maomao
источник
2
Как две группы представлены в качестве входных данных?
Эмиль Йержабек поддерживает Монику
1
условно, они задаются наборами генераторов.
Maomao
1
Проблема пересечения смежных классов обычно формулируется противоположно: ответ - да, если они пересекаются. Именно эта версия проблема , которая в . NPcoAM
Джошуа Грохоу
Интересное примечание, которое лишает законной силы ничего из вышеперечисленного: изоморфизм графов, пересечение смежных классов и изоморфизм струн были предметом нового результата Бабая, впервые описанного на семинаре пару дней назад. Публикации пока нет, но похоже, что теперь для всех них существует квазиполиномиальный алгоритм.
Перри

Ответы:

11

Умеренно экспоненциальное время и (для противоположной задачи, как указано: пересечение Coset обычно считается ответом «да», если смежные классы пересекаются, в отличие от того, как это указано в OQ.)coAM

Лукс 1999 ( бесплатная авторская копия ) дал алгоритм времени, в то время как Бабай (см. Его кандидатскую диссертацию 1983 года, также « Бабай-Кантор-Лукс FOCS 1983» и предполагаемую версию журнала) дал 2 ˜ O ( 2O(n)-временной алгоритм, который остается самым известным на сегодняшний день. Такизоморфизм графов сводится к квадратичному размеру смежного класса пересечению, улучшая это2 ~ O (п 1 / 4 - е )будетулучшению состояния техники для изоморфизма графов.2O~(n)2O~(n1/4ϵ)

Джошуа Грохов
источник
9

Рассмотрим дополнение, т. Е. Там, где вас просят проверить, является ли . Как я отметил в этом ответе , испытывая ли г г 1 , ... , г к есть в NC P [1]. Таким образом, вы можете угадать g , h S n и проверить за полиномиальное время, являются ли g G , h H и g π = h . Это дает NPGπHgg1,,gkNCPg,hSngGhHgπ=hNPверхняя граница и, следовательно, ваша проблема в .coNP

Редактировать : Это показано в [2, Thm. 15], что проблема пересечения смежных классов находится в . Как отмечено здесь , с. 7, проблема пересечения смежных классов, следовательно, не является NP-полной, если только иерархия времени полинома не разрушится. Кроме того, следует отметить здесь , стр. 6, что Люкс показал, что проблема в P, когда H разрешима, что включает случай H абелева.NPcoAMPHH

[1]  Л. Бабай, Э. М. Лукс и А. Сресс. Группы перестановок в NC . Proc. 19-й ежегодный симпозиум ACM по теории вычислений, с. 409-420, 1987.

[2] Л. Бабай, С. Моран. Игры Артура-Мерлина: рандомизированная система доказательств и иерархия классов сложности . Журнал компьютерных и системных наук, вып. 36, выпуск 2, с. 254-276, 1988.

Майкл Блондин
источник
большое спасибо за ответ. Для случая H нормальная подгруппа, это ясно. Однако, если H просто абелева, мне это не совсем понятно. Имеет ли все еще держат? (извините за мою глупость ...)GH=<st:sS,tT>
Maomao
Мой плохой, мой мозг на мгновение перепутал «нормальный» и «разрешимый». Мне жаль. Я отредактировал ответ, надеюсь, он ответит на ваш вопрос.
Майкл Блондин
1
Когда H нормальная подгруппа в G, проблема пересечения смежных классов намного проще: она сводится к проблеме принадлежности (есть в G). π
Джошуа Грохов
Хорошо, спасибо. Эта часть моего ответа в значительной степени бесполезна тогда.
Майкл Блондин
Я убрал абзац, это было просто запутанно.
Майкл Блондин,