Иногда утверждают, что теория геометрической сложности Кетана Малмулей является единственной правдоподобной программой для решения открытых вопросов теории сложности, таких как вопрос P против NP. Было несколько положительных комментариев от известных теоретиков сложности о программе. По словам Малмулей, для достижения желаемых результатов потребуется много времени. Вход в область не прост для теоретиков общей сложности и требует значительных усилий, чтобы получить представление об алгебраической геометрии и теории представлений.
Почему GCT считается способным противостоять P против NP? Какова стоимость заявки, если ожидается, что она займет более 100 лет? Каковы его преимущества перед другими нынешними подходами и теми, которые могут возрасти в ближайшие 100 лет?
Каково текущее состояние программы?
Какова следующая цель программы?
Была ли какая-либо фундаментальная критика программы?
Я предпочел бы ответы, которые понятны теоретику общей сложности с минимальным фоном из предполагаемой алгебраической геометрии и теории представлений.
Ответы:
Как отмечали многие другие, Малмулей, Риган и другие уже много говорили по многим из этих вопросов. Я предложу здесь только краткое изложение того, что я считаю некоторыми ключевыми моментами, которые еще не были упомянуты в комментариях.
Относительно того, почему GCT считается правдоподобно способным показать многие ответы уже были даны в других местах и в комментариях выше, хотя я думаю, что никто еще не упомянул, что кажется, что он избегает известных барьеров (релятивизация, алгебризация, естественные доказательства ). Что касается его ценности - я думаю, что даже если нам потребуется 100 лет, мы узнаем что-то новое о сложности на этом пути, изучая его с этой точки зрения.п≠ Nп
Некоторый прогресс достигнут в понимании алгебраических многообразий, представлений и алгоритмических вопросов, возникающих в GCT. Из известных мне исследователей, которые работали над этим (в произвольном порядке): П. Бургиссер, К. Икенмейер, М. Кристандл, Дж. М. Ландсберг, К. В. Субрахманян, Дж. Блазяк, Л. Манивель, Н. Рессайре, Дж. Вейман, В. Попов, Н. Каял, С. Кумар и, конечно, К. Малмулей и М. Сохони.
У Н. Каяла есть пара статей по алгоритмическому вопросу проверки, когда один многочлен находится на орбите другого или является проекцией другого. Он показывает, что в целом эти задачи являются NP-сложными, но для специальных функций, таких как постоянные, определители и элементарные симметрические полиномы, эти проблемы разрешимы в P. Это шаг к некоторым гипотезам Малмулея (что для некоторых более сложных задач - решение орбиты закрытие - в P для специальных функций, таких как определитель).
У меня нет ничего более конкретного, чтобы сказать по этому поводу, чем ответ на 2.
Насколько я знаю, фундаментальной критики не было , в том смысле, что я не видел никакой критики, которая реально дискредитирует программу. Конечно, обсуждалась необходимость таких методов, ценность программы с учетом ожидаемых долгосрочных горизонтов и т. Д., Но я бы охарактеризовал их скорее как здоровую дискуссию, чем фундаментальную критику.
источник
Я думаю, что эта статья Ketan D. Mulmuley ответит как минимум на вопрос № 1 (возможно, 2) о P против NP и теории геометрической сложности
источник