P / Poly против классов равномерной сложности

Не известно, содержится ли NEXP в P / poly. Действительно, доказательство того, что NEXP отсутствует в P / poly, может иметь некоторые применения в дерандомизации.

1. Каков наименьший равномерный класс C, для которого можно доказать, что C не содержится в P / poly?

2. Если бы показ, что со-NEXP не содержится в P / poly, имел бы другие теоретические последствия сложности, как в случае NEXP против P / poly?

Примечание: я знаю, что $SP_2$ как известно, не содержится в $Size[n^k]$ для каждой фиксированной константы $k$(Это было также показано для МА с 1 небольшим советом). Но в этом вопросе меня не интересуют результаты для фиксированных$k$, Я действительно заинтересован в классах, которые отличаются от P / Poly, даже если эти классы очень большие.

$\let\mr\mathrm$Есть несколько результатов в литературе, утверждающих, что определенный класс $C$ удовлетворяет $C\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ для любой $k$и, как правило, легко дополнить их, чтобы показать, что любая едва расширенная версия $C$ не в $\mr{P/poly}$,

Позвольте мне сказать, что $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$является суперполиномиальной оценкой, если она конструируема по времени, и$f(n)=n^{\omega(1)}$, Например,$n^{\log\log\log\log n}$является суперполиномиальной оценкой. На самом деле, поучительное упражнение показывает, что если$g(n)$ является любой неограниченной монотонной вычислимой функцией, существует суперполиномиальная оценка $f$ такой, что $f(n)\le n^{g(n)}$,

Во-первых, прямая диагонализация показывает, что $\Sigma_4^P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ для любой $k$, Тот же аргумент дает:

• Если $f$ любая суперполиномиальная оценка, то $\Sigma_4\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$,

  Эскиз доказательства: для любого $n$, позволять $C_n$ быть лексикографически первой схемой размера $2f(n)$ которая вычисляет булеву функцию в $n$ переменные не вычисляются по схеме размера $<f(n)$, Тогда язык$L$ определяется $x\in L\iff C_{|x|}(x)=1$ работает.

Хорошо известное улучшение утверждает, что $S_2\mr P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ для любой $k$, Точно так же,

• Если $f$ любая суперполиномиальная оценка, то $S_2\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$,

  Эскиз доказательства: если нет, то в частности $\mr{NP}\subseteq S_2\mr P\subseteq\mr{P/poly}$отсюда $\mr{PH}=S_2\mr P$, По дополнительному аргументу,$\Sigma_4\text-\mr{TIME}(f(n))\subseteq S_2\text-\mr{TIME}(f(n))\subseteq\mr{P/poly}$нет.

Забывшие классы делают еще лучше. Принимая во внимание возражение, высказанное Апурвой Бхагаватом, давайте$\mr{NLin=NTIME}(n)$, затем$\mr{NLin}\cup O_2\mr P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ для любой $k$и тот же аргумент дает:

• Если $f$ любая суперполиномиальная оценка, то $\mr{NLin}\cup O_2\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$,

  Эскиз доказательства: если $\mr{NLin\subseteq P/poly}$затем, набив, $\mr{NP\subseteq P/poly}$, что подразумевает $\mr{PH}=O_2\mr P$, Затем мы продолжаем, как и раньше.

Есть также результаты с участием МА. Часто упоминаемый результат, который$\mr{MA\text-EXP\nsubseteq P/poly}$это перебор. Шантанам оказался

$$\mr{promise\text-MA\cap promise\text-coMA\nsubseteq SIZE}(n^k)$$ для любой $k$и аналогичный аргумент дает:

• Если $f$ любая суперполиномиальная оценка, то

  $$\mr{promise\text-MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{promise\text-coMA\text-TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}.$$

  Эскиз доказательства: по лемме Сантханама 11 (которая является заостренной версией стандартного факта, что $\mr{PSPACE=IP}$ с PSPACE Prover), есть PSPACE-полный язык $L$ и рандомизированный многократный оракул ТМ $M$ такой, что на входе $x$, $M$ только задает оракулу запросы длины $|x|$; если$x\in L$, тогда $M^L(x)$ принимает с вероятностью $1$; и если$x\notin L$тогда для любого оракула $A$, $M^A(x)$ принимает с вероятностью $\le1/2$,

  Для подходящего монотонного полинома $p$, позволять $A=(A_{\mr{YES}},A_{\mr{NO}})$ быть проблемой обещания, определенной

  $$\begin{align} (x,s)\in A_{\mr{YES}}&\iff\exists\text{circuit }C\,\bigl(p(|C|+|x|)\le f(|s|)\land\Pr[M^C(x)\text{ accepts}]=1\bigr),\\ (x,s)\in A_{\rlap{\mr{NO}}\phantom{YES}}&\iff\forall\text{circuit }C\,\bigl(p(|C|+|x|)\le f(|s|)\to\Pr[M^C(x)\text{ accepts}]\le1/2\bigr). \end{align}$$ Let $h(x)$ be a polynomial reduction of $L$ to its complement, and let $B=(B_{\mr{YES}},B_{\mr{NO}})$ be the promise problem $$\begin{align} (x,s)\in B_{\mr{YES}}&\iff(x,s)\in A_{\mr{YES}}\land(h(x),s)\in A_{\mr{NO}},\\ (x,s)\in B_{\rlap{\mr{NO}}\phantom{YES}}&\iff(x,s)\in A_{\mr{NO}}\land(h(x),s)\in A_{\mr{YES}}. \end{align}$$ If $p(n)$ is chosen suitably large, $$B\in\mr{promise\text-MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{promise\text-coMA\text-TIME}(f(n)).$$ So, let us assume for contradiction that $B$ has polynomial-size circuits, say, $B\in\mr{SIZE}(n^k)$. Let $s(n)$ denote the size of the smallest circuit computing $L$ on inputs of length $n$, and put $t(n)=f^{-1}(p(s(n)))$; more precisely, $$t(n)=\min\{m:p(s(n))\le f(m)\}.$$ Then $x\mapsto(x,1^{t(n)})$ is a reduction of $L$ to $B$, thus $L\in\mr{SIZE}(t(n)^k)$, which means $$s(n)\le t(n)^k.$$ But since $f$ is superpolynomial, we have $t(n)=s(n)^{o(1)}$. This gives a contradiction for $n$ sufficiently large.

If we prefer a result with a non-promise version of MA, Miltersen, Vinodchandran, and Watanabe proved

$$\mr{MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{coMA\text-TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$$ for a half-exponential function $f$. We can improve it in two ways: first, it holds for $\tfrac1k$-exponential bounds for any constant $k$, and second, it holds for oblivious classes. Here, a $\tfrac1k$-exponential function is, roughly speaking, a function $f$ such that $\underbrace{f\circ\dots\circ f}_k=\exp$. See the Miltersen–Vinodchandran–Watanabe paper and references therein for the precise definition; it involves a well-behaved family of well-behaved functions $e_\alpha(x)$, $\alpha\in\mathbb R_+$, such that $e_0(x)=x$, $e_1(x)=e^x-1$, and $e_{\alpha+\beta}=e_\alpha\circ e_\beta$. Also, if $f(n)\le e_\alpha(\mr{poly}(n))$ and $g(n)\le e_\beta(\mr{poly}(n))$, then $f(g(n))\le e_{\alpha+\beta}(\mr{poly}(n))$. Then we have:

• $\mr{OMA\text-TIME}(e_\alpha)\cap\mr{coOMA\text-TIME}(e_\alpha)\nsubseteq\mr{P/poly}$ for any $\alpha>0$.

  Proof sketch: Assume otherwise. Fix an integer $k$ such that $1/k<\alpha$. Let me abbreviate

  $$\mr{OcOMT}(f)=\mr{OMA\text-TIME}(\mr{poly}(f(\mr{poly}(n)))\cap\mr{coOMA\text-TIME}(\mr{poly}(f(\mr{poly}(n))).$$ By padding, we have $$\tag{1}\mr{OcOMT}(e_{\beta+1/k})\subseteq\mr{SIZE}(e_\beta(\mr{poly}(n)))$$ for any $\beta\ge0$. Moreover, using e.g. Santhanam’s Lemma 11 above, we have the implication $$\tag{2}\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_\beta(\mr{poly}(n)))\implies\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_\beta).$$ Since trivially $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_1)$, a repeated application of (1) and (2) shows $\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_{(k-1)/k}(\mr{poly}(n)))$, $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_{(k-1)/k})$, $\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_{(k-2)/k}(\mr{poly}(n)))$, $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_{(k-2)/k})$, and so on. After $k$ steps, we reach $$\mr{PSPACE\subseteq P/poly}\qquad\text{and}\qquad\mr{PSPACE=OMA\cap coOMA}.$$ Using padding once more, we get $$\mr{DSPACE}(e_{1/k})\subseteq\mr{OcOMT}(e_{1/k})\subseteq\mr{P/poly},$$ which contradicts the results above, as $e_{1/k}$ is a superpolynomial bound.

Since nobody posted an answer, I will answer the question myself with the comments posted in the original question. Thanks to Robin Kothari, Emil Jerabek, Andrew Morgan and Alex Golovnev.

$MA_{exp}$ seems to be the smallest uniform class with known superpolynomial lower bounds.

$O_2^P$ seems to be the smallest known class not having circuits of size $n^k$ for each fixed $k$.

By diagonalization, it follows that for any super-polynomial (and space-constructible) function $s$, $DSPACE[s(n)]$ doesn't have polynomial-size circuits. $PSPACE$ versus $P/poly$ is still open.

$P/poly$ is closed under complement, so it contains $NEXP$ if and only if it contains $coNEXP$.

Please correct me if I'm wrong, but as far as I can tell, we actually don't know a fixed-polynomial size lower bound for $O_2^P$. This is because the usual Karp-Lipton argument doesn't go through for $O_2^P$, since we don't know whether $\textsf{NP}\subseteq O_2^P$ (in fact, this is equivalent to asking whether $\textsf{NP}\subseteq \textsf{P/poly}$). However, we do know that $\textsf{NP}^{O_2^P}$ isn't contained in $\textsf{SIZE}(n^k)$ for any $k$, as shown by Chakaravarthy and Roy.