Больше о PH в PP?

63

Недавний вопрос по Гека Bennett с просьбой , был ли класс PH содержится в классе РР, получил несколько противоречивые ответы (все это правда, кажется). С одной стороны, несколько результатов оракула были даны наоборот, а с другой Скотт предположил, что ответ, вероятно, положительный, так как теорема Тоды показывает, что PH находится в BP.PP, вероятностный вариант PP, и мы обычно считаем, что рандомизация делает не очень помогает, например, разумные предположения о твердости подразумевают PRG, которые могут заменить рандомизацию.

Теперь, в случае PP не ясно, что даже «идеальный» PRG будет означать полную дерандомизацию, поскольку естественная дерандомизация будет запускать оригинальный алгоритм с выводом PRG для всех полиномиально-многих возможных начальных чисел и займет большинство голосов. , Не ясно, что получение большинства голосов среди вычислений ПП - это то, что можно сделать в самом ПП. Тем не менее, статья Фортнау и Рейнгольда показывает, что PP закрыт при сокращении таблицы истинности (расширяя удивительный результат, что PP закрыт при пересечении), что, кажется, достаточно для получения этого большинства голосов.

Так в чем тут вопрос? Тода, Фортнау-Рейнгольд и все дерандомизации, основанные на PRG, все, похоже, релятивизируют, поэтому подразумевают, что PH в PP для каждого оракула, для которого существуют соответствующие PRG. Так что для всех оракулов , при которых PP не содержит PH (например , от Минсков и Папертого, по Beigel , или по Верещагин ), PRGS для ПП не существует. В частности, это подразумевает, что для этих оракулов в EXP нет подходящих жестких функций (в противном случае существуют NW-IW-подобные PRG). Если посмотреть на положительную сторону, это будет означать, что где-то внутри каждого из этих результатов оракула скрывается (неоднородный) PP-алгоритм для (аппроксимации) EXP с этим оракулом. Это странно, поскольку все эти результаты оракула, похоже, основаны на новых нижних границах ПП(для пороговых цепей) и прямолинейны в их машиностроении оракула, поэтому я не вижу, где скрывается верхняя граница для PP. Возможно, эта верхняя граница будет работать в целом, показывая, что (неоднородный) -PP может вычислить (или, по крайней мере, дать некоторое смещение) всего EXP? Разве что-то подобное не дало бы хотя бы симуляцию опыта EX?

Итак, я полагаю, что мой вопрос двоякий: (1) имеет ли смысл эта цепочка рассуждений? (2) Если так, то может ли кто-то «раскрыть» подразумеваемые верхние границы для PP?

Редактирование Аароном Стерлингом: подняв это на первую страницу и добавив награду. Это был один из моих любимых вопросов, и на него до сих пор нет ответов.

Ноам
источник
2
Действительно, начните с булевой функции в AC0, которая не может быть вычислена с помощью порогового логического элемента с полилоговой (N) степенью. Для каждого оракула A определим язык L A = { 1 n | f ( A n ) = 1 } (где A n - это 2 n битов n -го среза A ). Поскольку f Af:{0,1}N{0,1}ALA={1n|f(An)=1}An2nnA , LР Н , для всех. Т -го шага диагонализационного подберет А п (для некоторого п ) такихчто т 'е ПП ТМА делает ошибку на 1 пL A ? , что происходит, так как f не является полилогом (N) -пороговым (как вычисление машины PP). Таким образом , LP P . Но, может быть, L AP P A | р оfAC0LAPHAAtAnnt1nLA?fLAPPA ...LAPPA|poly
Ноам
2
Таким образом, чтобы получить также нам нужно было бы упаковать множество экземпляров f в одну длину n . Это кажется легко выполнимым путем определения L A = { x | f ( A x ) = 1 } , где для n- битной строки x , A x обозначает 2 n -биты, описывающие, является ли x y A для всех 2LAPPA/polyfnLA={x|f(Ax)=1}nxAx2nxyA возможных y длины n . Но нам нужно улучшить нижнюю границу для f, чтобы требовать, чтобы N копий f в разных N- разрядных строках не могли быть вычислены с помощью пороговых вентилей степени polylog (N), даже с помощью битов помощи polylog (N). Так что это должно быть ложно для любого f A C 0 . Интересная верхняя граница, кажется. 2nynfNfNfAC0
Ноам
1
Если подумать, то наблюдение, что под каждым оракулом, который делает PH / ⊆ PP, нет эффективных PRG, которые обманывают алгоритмы BP.PP, не должно быть более удивительным, чем тот факт, что под каждым оракулом, который делает BPP / ⊆ P, есть нет эффективных PRG, которые обманывают алгоритмы BPP. Это потому, что каждый оракул, который делает PH / ⊆ PP, также делает BP.PP / ⊆ PP по теореме Тоды (релятивизированный). Но, возможно, я упускаю суть. -
Slimton
1
PABPPABPPAPA/polyP A P P APHAPPAPAPPA
Noam
1
Как я отмечал выше: в конструкциях для суть конструкции дает «неестественную» мощность BPP (и, следовательно, также P / poly), например, прививая много свидетелей для жесткого оракула в местах, где только рандомизация может найти их. Поэтому, хотя действительно интересно, что этой мощности достаточно для «общих» проблем, по крайней мере, неожиданная сила P / poly очевидна. С другой стороны, я нигде не вижу, чтобы оракул для отделения PH от PP фактически придавал неестественную силу P / poly или любому другому классу. Я не уверен, что эта разница "реальная", хотя. PBPP
Noam

Ответы:

9

Согласно работе Кливанса и ван Мелкебека (которая релятивизируется), если E = DTIME ( ) не имеет цепей с затворами PP размером то PH находится в PP. Противоположное говорит, что если PH не в PP, то у E есть схемы субэкспоненциального размера с PP воротами. Это согласуется с тем фактом, что оракулярное доказательство PH не в PP дает релятивизированную нижнюю оценку для PP. Нет оснований полагать, что это подразумевает какую-либо верхнюю границу для PP или какую-либо прочность для цепей без вентилей PP. 2 o ( n )2O(n)2o(n)

Лэнс Фортноу
источник
Верный. Исправлена.
Лэнс Фортнау