Фиксированная глубина характеристики ? ?

Это вопрос о сложности схемы. (Определения внизу.)

Яо и Бейгель-Таруи показали, что каждое семейство цепей размером имеет эквивалентное семейство цепей размером глубины два , где выходной вентиль является симметричной функцией, а второй уровень состоит из ворота вентилятора в. Это довольно замечательный «коллапс глубины» семейства контуров: из контура глубины 100 вы можете уменьшить глубину до 2 с помощью только квазиполиномиального раздува (и одного причудливого, но все еще ограниченного элемента наверху). S ев р о л у ( лог - ы $ACC^0$$s$$s^{poly(\log s)}$p o l y ( log s $AND$$poly(\log s)$

Мой вопрос: есть ли известный способ выразить семейство схем , аналогично? Более амбициозно, как насчет семейства схем ? Потенциальные ответы будут иметь вид: «Каждая схема размера может быть распознана семейством размера глубины два , где выходной вентиль является функцией типа а второй уровень вентилей имеет тип " . N C 1 T C 0 s f ( s ) X Y$TC^0$$NC^1$$TC^0$$s$$f(s)$$X$$Y$

Это не должно быть глубиной два, любой вид фиксированной глубины будет интересным. Было бы очень интересно доказать, что каждая схема может быть представлена ​​на глубине 3 схемой, состоящей только из симметричных вентилей функций.$TC^0$

Некоторые незначительные замечания:

1. Если ответ тривиален для любой булевой функции (мы можем выразить любую функцию как для s). Для конкретности, давайте потребуем .$f(n)=2^n$2 n A N D f ( n ) = 2 n o ( 1 $OR$$2^n$ $AND$$f(n) = 2^{n^{o(1)}}$

2. Ответ также тривиален, если или может быть произвольной функцией, вычислимой в ... :) Я, очевидно, интересуюсь "более простыми" функциями, что бы это ни значило. Это немного скользко, потому что есть симметричные семейства функций, которые не вычисляются. (Есть унарные языки, которые неисчислимы.) Если хотите, вы можете просто заменить и симметричными функциями в выражении, однако меня могут заинтересовать любые другие аккуратные варианты вентилей.Y T C 0 X $X$$Y$$TC^0$$X$$Y$

(Теперь для некоторых кратких воспоминаний:

$ACC^0$ - это класс, распознаваемый семейством неограниченных цепей веерной глубины с , и для константы зависящей от размера схемы. ворот возвращает 1 тогда и только тогда сумма его входов делится на м .О Р М О Д м м > 1 М О Д м 1 $AND$$OR$$MOD_m$$m > 1$$MOD_m$$1$$m$

$TC^0$ - это класс, распознаваемый цепями постоянной глубины с $MAJORITY$ воротами неограниченного разветвления.

$NC^1$ - это класс, распознаваемый цепями логарифмической глубины с вентилями $AND$ , $OR$ , $NOT$ ограниченного разветвления.

Известно, что когда размер цепи ограничен полиномиальным числом входов.)$ACC^0 \subseteq TC^0 \subseteq NC^1$

Вот небольшое расширение моего комментария к ответу Вооза. Агравал, Аллендер и Датта в своих работах На , и Арифметические схемыС $TC^0$$AC^0$ Т С 0 Т С 0 х ♯ С 0 к дают характеристику в терминах арифметических схем. А именно, они показывают, что язык находится в если и только там есть функция в и целое число такое, что$TC^0$$A$$TC^0$$f$$\sharp AC^0$$k$

f ( x ) = 2 | х | $x \in A$ тогда и только тогда, когда .$f(x) = 2^{|x|^k}$

Обратите внимание, что - это особая форма арифметической схемы с постоянной глубиной над (допускаются только константы 0 и 1, а переменные входные данные могут быть или ). Z х я 1 - х $\sharp AC^0$$Z$$x_i$$1-x_i$

Учитывая, что, как указывает Вооз в своем ответе, для арифметических схем нетривиальное уменьшение глубины, это может быть чем-то, на что стоит обратить внимание.

Теорема Баррингтона должна дать вам схемы глубины 3 для с разной шириной, что не слишком странно (умножает на 5 циклов).$NC^1$

Я не знаю ответа, и я предполагаю, что это открытый вопрос. Существует очень мало известных примеров таких «удивительных симуляций», подобных Яо / Бейгелю-Таруи и Баррингтону. Одна из этих вещей, которая приходит на ум, это результат Валианта, что для каждого который может быть вычислен с помощью схемы O ( log n ) -depth O ( n ) -size, существует g в N C 0 [ n ϵ ], что согласуется с f на $f:{0,1}^n\rightarrow{0,1}^n$$O(\log n)$$O(n)$$g$$NC_0[n^{\epsilon}]$$f$ входов. (И если схема дляfиспользует только линейные операции, чем схема дляg, что приводит к соединению нижних границ / жесткости матрицы). Но в отличие отN C 1 это касается функций с несколькими выходами, а также только для цепей линейного размера. Отметим также, чтонетривиальное уменьшение до глубины 4известно для арифметических схем.$2^{n-o(n)}$$f$$g$$NC^1$