Каково распределение евклидова расстояния между двумя нормально распределенными случайными величинами?

Предположим, вам даны два объекта, точное местоположение которых неизвестно, но они распределены в соответствии с обычным распределением с известными параметрами (например, и . Мы можем предположить, что это обе двумерные нормали, так что позиции описываются распределением по координатам (т. Е. и - векторы, содержащие ожидаемые координаты для и соответственно). Мы также будем предполагать, что объекты независимы.Ь ~ N ( V , трет ) ) ( х , у ) т $a \sim N(m, s)$$b \sim N(v, t))$$(x,y)$$m$$v$$(x,y)$$a$$b$

Кто-нибудь знает, является ли распределение евклидова расстояния в квадрате между этими двумя объектами известным параметрическим распределением? Или как получить PDF / CDF для этой функции аналитически?

Ответ на этот вопрос можно найти в книге « Квадратичные формы в случайных величинах», написанной Mathai and Provost (1992, Marcel Dekker, Inc.).

Как поясняется в комментариях, вам нужно найти распределение где z = a - b следует двумерному нормальному распределению со средним μ и ковариационной матрицей Σ . Это квадратичная форма в двумерной случайной величины z .$Q = z_1^2 + z_2^2$$z = a - b$$\mu$$\Sigma$$z$

Вкратце, один хороший общий результат для мерного случая, когда z ∼ N p ( µ , Σ ) и Q = p ∑ j = 1 z 2 j, состоит в том, что функция, производящая момент, равна E ( e t Q ) = e t ∑ p j = 1 b 2 j λ $p$$z \sim N_p(\mu, \Sigma)$

$$Q = \sum_{j=1}^p z_j^2$$ гдеλ1,...,λрсобственныеЕиЬявляется линейной функцией отц. См. Теорему 3.2a.2 (стр. 42) в цитированной выше книге (здесь мы предполагаем, чтоΣнеособа). Другое полезное представление 3.1a.1 (стр. 29) Q=p∑j= $$E(e^{tQ}) = e^{t \sum_{j=1}^p \frac{b_j^2 \lambda_j}{1-2t\lambda_j}}\prod_{j=1}^p (1-2t\lambda_j)^{-1/2}$$ $\lambda_1, \ldots, \lambda_p$$\Sigma$$b$$\mu$$\Sigma$ где u 1 , … , u p - это N ( 0 , 1 ) . $$Q = \sum_{j=1}^p \lambda_j(u_j + b_j)^2$$ $u_1, \ldots, u_p$$N(0, 1)$

Вся глава 4 в книге посвящена представлению и вычислению плотностей и функций распределения, что вовсе не тривиально. Я только поверхностно знаком с книгой, но у меня сложилось впечатление, что все общие представления в терминах бесконечных разложений в ряды.

$\lambda_1, \lambda_2 > 0$$b_1, b_2 \in \mathbb{R}$

$a$$b$$a-b$

$\mu_d = \mu_1 - \mu_2$$\Sigma_d = \Sigma_1 + \Sigma_2$ $\Sigma_d = \mathrm{J} \Sigma_{12} \mathrm{J}^T$$\Sigma_{12} = \begin{bmatrix} \Sigma_1 & \\ & \Sigma_2 \end{bmatrix}$$\mathrm{J} = \begin{bmatrix} +\mathrm{I}, & -\mathrm{I} \end{bmatrix}$

Во-вторых, обратите внимание на распределение длины разностного вектора или радиального расстояния от начала координат, которое распределено Хойтом :

Радиус вокруг истинного среднего в двумерной коррелированной нормальной случайной переменной с неравными дисперсиями, переписанной в полярных координатах (радиус и угол), следует распределению Хойта. Pdf и cdf определены в закрытом виде, числовой корень используется для поиска cdf ^ −1. Сводится к распределению Рэлея, если корреляция равна 0, а дисперсии равны.

Более общее распределение возникает, если учесть смещенную разницу (смещенное происхождение) из баллистипедии :

Почему бы не проверить это?

set.seed(347)
x <- rnorm(10000)
y <- rnorm(10000)
x2 <- rnorm(10000)
y2 <- rnorm(10000)

qdf <- data.frame(x,y,x2,y2)
qdf <- data.frame(qdf,(x-x2)^2+(y-y2)^2)
colnames(qdf)[5] <- "euclid" 

plot(c(x,y),c(x2,y2))
plot(qdf$euclid)
hist(qdf$euclid) 
plot(dentist(qdf$euclid))