Почему стандартная ошибка перехвата увеличивается с увеличением

Стандартная ошибка свободного члена ( β 0 ) в у = β 1 х + β 0 + ε задается S E ( β 0 ) 2 = σ 2 [ 1$\hat{\beta}_0$$y=\beta_1x+\beta_0+\varepsilon$

Из того, что я понимаю, SE квантифицирует ваш uncertainty-, например, в 95% образцов, интервал будет содержать истинное & beta ; 0 . Я не понимаю, как SE, мера неопределенности, увеличивается с ˉ x . Если я просто перенесу свои данные, так что ˉ x = 0 , моя неопределенность уменьшится? Это кажется неразумным.$[\hat{\beta}_0-2SE,\hat{\beta}_0+2SE]$$\beta_0$$\bar{x}$$\bar{x}=0$

Аналогичная интерпретация - в uncentered версии моих соответствует моему предсказанию при х = 0 , в то время как в центрированных данных, & beta ; 0 соответствует моему предсказанию при й = ˉ х . Так значит ли это, что моя неопределенность в отношении моего прогноза при x = 0 больше, чем моя неопределенность в отношении моего прогноза при x = ˉ x ? Это тоже кажется необоснованным, ошибка ϵ имеет одинаковую дисперсию для всех значений $\hat{\beta}_0$$x=0$$\hat{\beta}_0$$x=\bar{x}$$x=0$$x=\bar{x}$$\epsilon$$x$, поэтому моя неопределенность в моих предсказанных значениях должна быть одинаковой для всех .$x$

Я уверен, что в моем понимании есть пробелы. Может ли кто-нибудь помочь мне понять, что происходит?

Поскольку линия регрессии, соответствующая обычным наименьшим квадратам, обязательно пройдет через среднее значение ваших данных (т. Е. ) - по крайней мере, до тех пор, пока вы не подавите перехват - неопределенность относительно истинного значения наклон не оказывает никакого влияния на вертикальное положение линии на среднее значение х (т.е. при у ˉ х ). Это приводит к меньшей вертикальной неопределенности при ˉ x, чем дальше от ˉ x . Если перехват, где х = 0 является ˉ $(\bar x, \bar y)$$x$$\hat y_{\bar x}$$\bar x$$\bar x$$x=0$$\bar x$ , то это минимизирует вашу неопределенность относительно истинного значения $\beta_0$ . В математических терминах это выражается в минимально возможное значение стандартной ошибки для р 0 . $\hat\beta_0$

Вот быстрый пример в R:

set.seed(1)                           # this makes the example exactly reproducible
x0      = rnorm(20, mean=0, sd=1)     # the mean of x varies from 0 to 10
x5      = rnorm(20, mean=5, sd=1)
x10     = rnorm(20, mean=10, sd=1)
y0      = 5 + 1*x0  + rnorm(20)       # all data come from the same  
y5      = 5 + 1*x5  + rnorm(20)       #  data generating process
y10     = 5 + 1*x10 + rnorm(20)
model0  = lm(y0~x0)                   # all models are fit the same way
model5  = lm(y5~x5)
model10 = lm(y10~x10)

Эта цифра немного занята, но вы можете увидеть данные нескольких разных исследований, где распределение было ближе или дальше от 0 . Склоны немного отличаются от учебы к учебе, но в значительной степени похожи. (Обратите внимание , все они идут через кружок X , который я использовал для метки ( ˉ х , ˉ у ) .) Тем не менее, неопределенность относительно истинного значения этих склонов вызывают неопределенность у расширить в дальнейшем вы получите от ˉ х , Это означает, что S $x$$0$$(\bar x, \bar y)$$\hat y$$\bar x$$SE(\hat\beta_0)$очень широк для данных, которые были отобраны в окрестности , и очень узок для исследования, в котором данные были отобраны около х = 0 . $x=10$$x=0$

Редактировать в ответ на комментарий: К сожалению, центрирование данные после того, как вы их не помогут вам , если вы хотите знать , вероятно значения при некотором х значений х новое . Вместо этого вам необходимо сосредоточить сбор данных на том месте, о котором вы заботитесь в первую очередь. Чтобы лучше понять эти проблемы, вам может помочь прочесть мой ответ здесь: Интервал прогнозирования линейной регрессии . $y$$x$$x_\text{new}$