Куртоз - это измерение пика и плоскостности распределения. Функция плотности распределения, если она существует, может рассматриваться как кривая и имеет геометрические особенности (такие как кривизна, выпуклость, ...), связанные с ее формой.
Поэтому мне интересно, связан ли эксцесс распределения с некоторыми геометрическими особенностями функции плотности, которые могут объяснить геометрический смысл эксцесса?
Ответы:
Моменты непрерывного распределения и их функции, такие как эксцесс, очень мало говорят о графике его функции плотности.
Рассмотрим, например, следующие графики.
Каждый из них представляет собой график неотрицательной функции, интегрируемой в : все они являются PDF-файлами. Более того, все они имеют одинаковые моменты - каждое их бесконечное количество. Таким образом, у них общий куртоз (который равен )- 3 + 3 е 2 + 2 е 3 + е 41 - 3 + 3 е2+ 2 е3+ е4
Формулы для этих функций
для и- 1 ≤ s ≤ 1 , K ∈ Z .х > 0 , - 1 ≤ s ≤ 1 , K ∈ Z .
На рисунке слева показаны значения и значения сверху. В левом столбце показан PDF для стандартного логнормального распределения.кs k
Упражнение 6.21 в Продвинутой теории статистики Кендалла (Stuart & Ord, 5-е издание) просит читателя показать, что все они имеют одинаковые моменты.
Можно аналогичным образом модифицировать любой PDF-файл, чтобы создать другой PDF-файл совершенно другой формы, но с такими же вторыми и четвертыми центральными моментами (скажем), который, следовательно, будет иметь такой же эксцесс. Только из этого примера должно быть совершенно ясно, что эксцесс не является легко интерпретируемой или интуитивно понятной мерой симметрии, унимодальности, бимодальности, выпуклости или любой другой знакомой геометрической характеристики кривой.
Следовательно, функции моментов (и эксцесс как частный случай) не описывают геометрические свойства графика pdf. Интуитивно это имеет смысл: поскольку pdf представляет вероятность с помощью области, мы можем почти свободно перемещать плотность вероятности из одного места в другое, радикально изменяя внешний вид pdf, в то же время фиксируя любое конечное число предварительно определенных моментов.
источник
Для симметричных распределений (то есть тех, для которых четные центрированные моменты имеют смысл) эксцесс измеряет геометрическую особенность лежащего в основе pdf. Неверно, что эксцесс измеряет (или вообще связан) с остротой распределения. Скорее, эксцесс измеряет, насколько далеко лежащее в основе распределение от симметричного и бимодального (алгебраически, идеально симметричное и бимодальное распределение будет иметь эксцесс 1, что является наименьшим возможным значением, которое может иметь эксцесс) [0].
В двух словах, если вы определите:
с , тоE(X)=μ,V(X)=σ2
для .Z=(X−μ)/σ
Это подразумевает, что можно рассматривать как меру дисперсии вокруг его ожидания 1. Другими словами, если у вас есть геометрическая интерпретация дисперсии и ожидания, то следует то, что следует за эксцессом.k Z2
[0] Р.Б. Дарлингтон (1970). Куртоз действительно "пик"? Американский статистик, вып. 24, № 2.
[1] JJA Moors (1986). Значение куртоза: Дарлингтон пересмотрен. Американский статистик, том 40, выпуск 4.
источник
[NB это было написано в ответ на другой вопрос на сайте; ответы были объединены с настоящим вопросом. Вот почему этот ответ, похоже, отвечает на другой вопрос. Однако большая часть поста должна быть уместна здесь.]
Куртоз на самом деле не измеряет форму распределений. Возможно, в некоторых распределительных семьях вы можете сказать, что он описывает форму, но в целом куртоз не говорит вам ужасно о фактической форме. На форму влияют многие вещи, в том числе не связанные с куртозом.
Если кто-то выполняет поиск изображений для эксцесса, появляется немало таких изображений:
которые вместо этого, кажется, показывают изменяющуюся дисперсию, а не увеличивающийся эксцесс. Для сравнения вот три нормальных плотности, которые я только что нарисовал (используя R) с различными стандартными отклонениями:
Как видите, выглядит он практически идентично предыдущему рисунку. Все они имеют одинаковый эксцесс. Напротив, вот пример, который, вероятно, ближе к тому, к чему стремился график
Зеленая кривая более остроконечная и более тяжелая с хвостами (хотя этот дисплей не очень подходит для определения того, насколько тяжелее хвост на самом деле). Синяя кривая менее остроконечна и имеет очень легкие хвосты (на самом деле она вообще не имеет хвостов за пределами стандартных отклонений от среднего значения).6–√
Обычно это то, что люди имеют в виду, когда говорят о куртозе, указывая на форму плотности. Тем не менее, эксцесс может быть тонким - он не должен так работать.
Например, при данной дисперсии более высокий эксцесс может происходить с более низким пиком.
Нужно также остерегаться соблазна (и во многих книгах об этом открыто говорится), что нулевой избыточный эксцесс подразумевает нормальность. Существуют распределения с избыточным эксцессом 0, которые не похожи на нормальные. Вот пример:
Действительно, это также иллюстрирует предыдущий пункт. Я мог бы с легкостью построить похожее распределение с более высоким эксцессом, чем нормальное, но которое все еще равно нулю в центре - полное отсутствие пика.
На сайте есть несколько постов, которые описывают куртоз в дальнейшем. Один пример здесь .
источник
Куртоз вообще не связан с геометрией распределения, по крайней мере, не в центральной части распределения. В центральной части распределения (в пределах диапазона ) геометрия может показывать бесконечный пик, плоский пик или бимодальные пики как в случаях, когда эксцесс является бесконечным, так и в случаях, когда эксцесс является меньше, чем у нормального распределения. Куртоз измеряет только поведение хвоста (выбросы). См. Https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4321753/μ±σ
Редактировать 23.11.2008: С момента написания этого поста я разработал некоторые геометрические перспективы куртоза. Одним из них является то, что избыточный эксцесс может действительно визуализироваться геометрически в терминах отклонений от ожидаемой линии 45 градусов в хвостах нормального квантильно-квантильного графика; см. Показывает ли этот график QQ лептокуротическое или платикуртичное распределение?
Другая (возможно, более физическая, чем геометрическая) интерпретация куртоза состоит в том, что куртоз можно представить как точку баланса распределения , где . Обратите внимание, что (не избыточный) эксцесс равен . Таким образом, распределение остатков на эксцесс .pV(v) V={(X−μ)/σ}4 X E(V) V X
Другой результат, который показывает, что геометрия в диапазоне практически не имеет отношения к куртозу, приводится ниже. Рассмотрим pdf любого RV имеющего конечный четвертый момент. (Таким образом, результат применим ко всем эмпирическим распределениям.) Произведите произвольную замену массы (или геометрии) в диапазоне чтобы получить новое распределение, но оставьте среднее и стандартное отклонение полученного распределения равным и оригинального . Тогда максимальная разница в эксцессах для всех таких замен составляет . С другой стороны, если вы замените массу внеμ±σ X μ±σ μ σ X ≤0.25 μ±σ В диапазоне, сохраняя центральную массу, а также , фиксированными, разница в эксцессе не ограничена для всех таких замен.μ σ
источник
Ответ другого рода: мы можем проиллюстрировать эксцесс геометрически, используя идеи из http://www.quantdec.com/envstats/notes/class_06/properties.htm : графические моменты.
Начните с определения : где - плотность , соответственно ожидание и дисперсия. Неотрицательная функция под знаком интеграла интегрируется в эксцесс и дает вклад в эксцесс около . Мы можем назвать это плотностью эксцесса , и на графике она показывает графически. (Обратите внимание, что в этом посте мы вообще не используем избыточный эксцесс ).k=E(X−μσ)4=∫(x−μσ)4f(x)dx f X μ,σ2 x k e = k - 3 ke=k−3
В следующем я покажу график графического эксцесса для некоторых симметричных распределений, все с центром в нуле и масштабированными, чтобы иметь дисперсию 1.
Обратите внимание на фактическое отсутствие вклада в эксцесс из центра, показывающий, что эксцесс не имеет большого отношения к «остроте».
источник