Указание модели разницы в различиях с несколькими периодами времени

Когда я оцениваю модель разности различий с двумя периодами времени, эквивалентная модель регрессии

а. $Y_{ist} = \alpha +\gamma_s*Treatment + \lambda d_t + \delta*(Treatment*d_t)+ \epsilon_{ist}$

• где $Treatment$ - манекен, равный 1, если наблюдение относится к группе лечения
• и представляет собой манекен, который равен 1 в период времени после того, как лечение произошло$d$

Таким образом, уравнение принимает следующие значения.

• Контрольная группа, до лечения: $\alpha$
• Контрольная группа, после лечения: $\alpha +\lambda$
• Группа лечения, до лечения: $\alpha +\gamma$
• Группа лечения, после лечения: $\alpha+ \gamma+ \lambda+ \delta$

Следовательно, в двухпериодной модели разница в оценке разностей равна .$\delta$

Но то , что происходит в отношении , если у меня есть больше чем один до и после периода лечения? Я все еще использую манекен, который указывает, является ли год до или после лечения?$d_t$

Или я вместо этого добавляю манекены без указания того, относятся ли каждый год к периоду до или после лечения? Как это:

б. $Y_{ist} = \alpha +\gamma_s*Treatment + yeardummy + \delta*(Treatment*d_t)+ \epsilon_{ist}$

Или я могу включить оба (т. )?$yeardummy +\lambda d_t$

с. $Y_{ist} = \alpha +\gamma_s*Treatment + yeardummy + \lambda d_t + \delta*(Treatment*d_t)+ \epsilon_{ist}$

В заключение, как мне указать модель разницы в различиях с несколькими периодами времени (a, b или c)?

Типичным способом оценки разницы в модели различий с более чем двумя периодами времени является предлагаемое вами решение б). Сохраняя свою запись, вы бы регрессировали где D t ≡ Обработка s ⋅ d t - фиктивная переменная, которая равен единице для лечебных единиц

Как было указано правильно в комментариях, предложенное вами решение в) не работает из-за коллинеарности с временными манекенами и манекеном для периода после лечения. Тем не менее, небольшим вариантом этого оказывается проверка надежности. Пусть и γ s 1 - два набора фиктивных переменных для каждого блока управления s 0 и каждого обработанного блока s 1 , соответственно, затем взаимодействие макетов для обработанных блоков с переменной времени t и регрессия Y i s t = γ s 0 + γ s 1$\gamma_{s0}$$\gamma_{s1}$$s0$$s1$$t$ включает в себя единичную временную тенденцию γ s 1 t . Если вы включите эти единичные временные тренды, а коэффициент разности разностей δ существенно не изменится, вы сможете быть более уверенными в своих результатах. В противном случае вы можете задаться вопросом, поглотил ли ваш лечебный эффект различия между обработанными единицами из-за базовой временной тенденции (это может произойти, когда политики вступают в силу в разные моменты времени).

Примером, приведенным в работе «Angrist and Pischke» (2009) «Mostly Harmless Econometrics», является исследование политики рынка труда Besley and Burgess (2004) . В их статье так получилось, что включение трендов по времени для конкретного штата убивает предполагаемый эффект лечения. Обратите внимание, что для этой проверки надежности вам нужно более 3-х периодов.

Я хотел бы кое-что уточнить (и косвенно ответить на вопрос в комментариях). В частности, это касается использования единичных линейных трендов времени. В качестве проверки надежности может показаться, что вы взаимодействуете с манекенами только для обработанных единиц (т.е.$\gamma_{1s}$) с непрерывным временным трендом. Однако на самом деле это тот случай, когда вы взаимодействуете с полным набором манекенов юнитов / состояний (фиксированные эффекты юнитов / состояний) с линейной переменной тренда времени.

Angrist и Pischke (2009) рекомендуют этот подход на стр. 238 в журнале « В основном безвредная эконометрика» . Различия в обозначениях могут вызвать путаницу. Воспроизведение спецификации 5.2.7:

where $\gamma_{0s}$ is a state-specific intercept, in accordance with the $s$ subscript used in their book. You can view $\gamma_{1s}$ as the state-specific trend coefficient multiplying the time trend variable, $t$. Different papers use different notation. For example, Wolfers (2006) replicates a model incorporating state-specific linear time trends. Reproducing model (1):

where the model includes state and year fixed effects (i.e., dummies for each state and year). The treatment variable $D_{s,t}$ is when state $s$ adopts a unilateral divorce regime in period $t$. Notice this specification interacts state dummies with a linear time trend (i.e., $Time_{t}$). This is yet another representation of state-specific linear time trends in your model specification.

Unit-specific linear time trends is also addressed in another post (see below):

How to account for endogenous program placement?

In sum, you want to interact all unit (group) dummies with a continuous time trend variable.

Paper by Justin Wolfers is below for your reference:

https://users.nber.org/~jwolfers/papers/Divorce(AER).pdf