Это дополнение к правильному и принятому ответу. В частности, оригинальный вопрос содержит дополнительный вопрос об утверждении, которое делает книга.
Кроме того, левый график на следующем рисунке, как утверждается, отражает отношения независимости между и , почему?
YИксY
Это то, что рассматривается в этом ответе, и это единственное, что рассматривается в этом ответе.
Чтобы убедиться, что мы находимся на одной странице, в дальнейшем я использую это определение (неориентированного) графа условной независимости, которое соответствует (хотя бы приблизительно) марковским случайным полям:
Определение: граф условной независимости является неориентированным графом где иG = ( K , E ) K = { 1 , 2 , … , k } ( i , j ) X i ⊥ИксG = ( K, E)К= { 1 , 2 , … , k }( я , j ) не входит в множество ребер тогда и только тогда, когда . (Где обозначает вектор всех случайных величин, кроме и .) X K ∖ { i , j } X i X jИкся⊥⊥ XJ| ИксК∖ { i , j }ИксК∖ { i , j }ИксяИксJ
Из с. 60 из Whittaker, Графические модели в прикладной математической многомерной статистике (1990).
Здесь, используя аргумент, приведенный Генри в правильном, принятом ответе, мы можем установить, что и условно независимы с учетом в обозначениях .Y Z X ⊥ИксYZИкс⊥⊥ Y | Z
Поскольку только три случайные величины Икс, Y и , это означает, что и условно независимы, если даны все остальные оставшиеся случайные величины (в данном случае просто ).ZИксYZ
Используя определение условной независимости графа , приведенный выше, это означает , что все ребра в графе должны быть включены , за исключением грани между и . Действительно, это именно то, что показано на правом графике этой картины.ИксY
Что касается левого графа, то неясно, не имея большего контекста, но я думаю, что идея состоит в том, чтобы просто показать, как выглядел бы график условной независимости, если бы у нас не было нулей в тех элементах обратной матрицы ковариации.
В частности, используя приведенное выше определение, мы видим, что мы можем начать с полного графа на узлах , который является левым графом на этом рисунке, а затем вывести граф условной независимости из этого первого графа, удалив все ребра, соответствующие условно независимым случайным величинам. Картина действительно сравнивает два графа в явном виде («против»), что для меня предлагает сравнение между полным графом, с которого можно начать, и графом условной независимости, с которым заканчивается, если / когда они применяют определение графа условной независимости, как дано над.Икс, Y, Z