«Оценка плотности ядра» - это свертка чего?

Я пытаюсь получить лучшее понимание оценки плотности ядра.

Использование определения из Википедии: https://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_density_esvaluation#Definition

$\hat{f_h}(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n K_h (x - x_i) \quad = \frac{1}{nh} \sum_{i=1}^n K\Big(\frac{x-x_i}{h}\Big)$

Давайте возьмем в качестве прямоугольной функции, которая дает если находится в от до и противном случае, а (размер окна) равен 1.$K()$$1$$x$$-0.5$$0.5$$0$$h$

Я понимаю, что плотность - это свертка двух функций, но я не уверен, что знаю, как определить эти две функции. Одна из них должна (вероятно) быть функцией данных, которая для каждой точки в R сообщает нам, сколько точек данных у нас в этом месте (в основном ). А другой функцией, вероятно, должна быть какая-то модификация функции ядра в сочетании с размером окна. Но я не уверен, как это определить.$0$

Какие-либо предложения?

Ниже приведен пример кода R, который (я подозреваю) копирует настройки, которые я определил выше (со смесью из двух гауссианов и ), на которых я надеюсь увидеть «доказательство» того, что функции, которые должны быть свернуты, являются, как мы подозреваем, ,$n=100$

# example code:
set.seed(2346639)
x <- c(rnorm(50), rnorm(50,2))
plot(density(x, kernel='rectangular', width=1, n = 10**4))
rug(x)

Любой пакет данных его "эмпирической функции плотности"$X = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$

$$f_X(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \delta(x-x_i).$$

Здесь является «обобщенной функцией». Несмотря на это название, это вовсе не функция: это новый математический объект, который можно использовать только внутри интегралов. Его определяющим свойством является то, что для любой функции компактного носителя, непрерывной в окрестности ,$\delta$$g$$0$

$$\int_{\mathbb{R}}\delta(x) g(x) dx = g(0).$$

(Имена для включают «атомарную» или «точечную» меру и « дельта-функцию Дирака» . В следующем расчете эта концепция расширена и включает функции которые являются непрерывными только с одной стороны.)$\delta$г$g$

Обоснование этой характеристики заключается в том, что$f_X$

$$\eqalign{ \int_{-\infty}^{x} f_X(y) dy &= \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \delta(y-x_i)dy \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \int_{-\infty}^{x} \delta(y-x_i)dy \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \int_{\mathbb{R}} I(y\le x) \delta(y-x_i)dy \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} I(x_i \le x) \\ &= F_X(x) }$$

где - обычный эмпирический CDF, а - обычная характеристическая функция (равная где ее аргумент равен true, и противном случае). (Я пропускаю элементарный ограничивающий аргумент, необходимый для перехода от функций компактной поддержки к функциям, определенным через ; поскольку нужно определять только значения в диапазоне , который компактен, это не проблема.)$F_X$$I$$1$$0$$\mathbb{R}$$I$$X$

Свертка с любой другой функции дается, по определению, поскольку$f_X(x)$$k$

$$\eqalign{ (f_X * k)(x) &= \int_{\mathbb{R}} f_X(x - y) k(y) dy \\ &=\int_{\mathbb{R}} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \delta(x-y-x_i) k(y) dy \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\int_{\mathbb{R}} \delta(x-y-x_i) k(y) dy \\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} k(x_i-x). }$$

Полагая (что совпадает с для симметричных ядер - и большинство ядер симметричны), мы получаем заявленный результат: формула Википедии является сверткой.$k(x) = K_h(-x)$$K_h(x)$