Сумма двух нормальных произведений это Лаплас?

Очевидно, что если , то$X_i \sim N(0,1)$

$X_1 X_2 + X_3 X_4 \sim \mathrm{Laplace(0,1)}$

Я видел статьи о произвольных квадратичных формах, которые всегда приводят к ужасным нецентральным выражениям хи-квадрат.

Приведенные выше простые отношения не кажутся мне очевидными, поэтому (если это правда!) Есть ли у кого-нибудь простое доказательство вышеизложенного?

Элементарная последовательность шагов, использующая известные отношения между распределениями и простую алгебраическую поляризационную идентичность, обеспечивает элементарную и интуитивную демонстрацию.

Я обнаружил, что эта поляризационная идентичность в целом полезна для рассуждения и вычисления продуктов случайных величин, потому что она сводит их к линейным комбинациям квадратов. Это немного похоже на работу с матрицами, сначала по диагонали. (Здесь есть более чем поверхностная связь.)

Распределение Лапласа - это разность двух экспонент (что интуитивно имеет смысл, потому что экспонента - это распределение «полу-лапласа»). (Ссылка демонстрирует это, манипулируя характеристическими функциями, но связь может быть доказана с использованием элементарного интегрирования, следующего из определения разности как свертки.)

Распределение Экспоненциальное (которое само по себе является распределение) также ( в масштабе вариант а) χ 2 ( 2 ) распределения. Масштабный коэффициент 1 / 2 . Это легко увидеть, сравнив PDF-файлы двух дистрибутивов.$\Gamma(1)$$\chi^2(2)$$1/2$

Распределения χ $\chi^2$ получаются естественным образом в виде сумм квадратов iid нормальных распределений (имеющих нулевые средние). Степени свободы,, считают количество нормальных распределений в сумме.$2$

Алгебраическое отношение

показывает в виде квадратов четырех распределений, каждое из которых представляет собой линейную комбинацию стандартных нормалей. Легко проверить, что все четыре линейные комбинации являются линейно независимыми (и каждая следует за нормальным ( 0 , $X_1X_2 + X_3X_4$распределение). Таким образом, первые два слагаемых, которые суммируют квадраты двух одинаково распределенных нормальных распределений среднего нуля, образуютмасштабированноераспределениеχ2(2)(и его масштабный коэффициент$(0,\sqrt{1/2})$ $\chi^2(2)$в точности точто нужночтобы сделать его распределение Экспоненциальное)а вторые два члена независимо другдруга имеют экспоненциальное распределение, тоже, по той же причине.$\sqrt{1/2}\ ^2=1/2$

Следовательно, , являясь разностью двух независимых экспоненциальных распределений, имеет (стандартное) распределение Лапласа.$X_1X_2+X_3X_4$

$X\sim \mathrm{Laplace}(0,1)$ имеет характерную функцию