Сумма двух нормальных произведений это Лаплас?

13

Очевидно, что если , тоИкся~N(0,1)

Икс1Икс2+Икс3Икс4~LaпLaсе(0,1)

Я видел статьи о произвольных квадратичных формах, которые всегда приводят к ужасным нецентральным выражениям хи-квадрат.

Приведенные выше простые отношения не кажутся мне очевидными, поэтому (если это правда!) Есть ли у кого-нибудь простое доказательство вышеизложенного?

Corone
источник

Ответы:

17

Элементарная последовательность шагов, использующая известные отношения между распределениями и простую алгебраическую поляризационную идентичность, обеспечивает элементарную и интуитивную демонстрацию.

Я обнаружил, что эта поляризационная идентичность в целом полезна для рассуждения и вычисления продуктов случайных величин, потому что она сводит их к линейным комбинациям квадратов. Это немного похоже на работу с матрицами, сначала по диагонали. (Здесь есть более чем поверхностная связь.)


Распределение Лапласа - это разность двух экспонент (что интуитивно имеет смысл, потому что экспонента - это распределение «полу-лапласа»). (Ссылка демонстрирует это, манипулируя характеристическими функциями, но связь может быть доказана с использованием элементарного интегрирования, следующего из определения разности как свертки.)

Распределение Экспоненциальное (которое само по себе является распределение) также ( в масштабе вариант а) χ 2 ( 2 ) распределения. Масштабный коэффициент 1 / 2 . Это легко увидеть, сравнив PDF-файлы двух дистрибутивов.Γ(1)χ2(2)1/2

Распределения χ 2χ2 получаются естественным образом в виде сумм квадратов iid нормальных распределений (имеющих нулевые средние). Степени свободы,, считают количество нормальных распределений в сумме.2

Алгебраическое отношение

X1X2+X3X4=[(X1+X22)2+(X3+X42)2][(X1X22)2+(X3X42)2]

показывает в виде квадратов четырех распределений, каждое из которых представляет собой линейную комбинацию стандартных нормалей. Легко проверить, что все четыре линейные комбинации являются линейно независимыми (и каждая следует за нормальным ( 0 , X1X2+X3X4распределение). Таким образом, первые два слагаемых, которые суммируют квадраты двух одинаково распределенных нормальных распределений среднего нуля, образуютмасштабированноераспределениеχ2(2)(и его масштабный коэффициент(0,1/2) χ2(2)в точности точто нужночтобы сделать его распределение Экспоненциальное)а вторые два члена независимо другдруга имеют экспоненциальное распределение, тоже, по той же причине.1/2 2=1/2

Следовательно, , являясь разностью двух независимых экспоненциальных распределений, имеет (стандартное) распределение Лапласа.X1X2+X3X4

Whuber
источник
4
Это абсолютно восхитительно!
Корона
2
Я только что заметил, что другой ответ, основанный на функциях, генерирующих моменты, появляется на stats.stackexchange.com/a/51717/919 : см. Абзац в середине начала «случайно» (другое название для распределения Лапласа - «биэкспоненциальный») ). Эта тема касается MGF обобщения настоящего вопроса.
whuber
Хороший вывод, но откуда вы знаете, что разность двух независимых экспоненциально-распределенных переменных имеет распределение Лапласа?
Здравствуйте, до свидания,
@ Здравствуйте, перейдите по ссылке: она идет к статье в Википедии, которая включает краткую демонстрацию.
whuber
13

Икс~LaпLaсе(0,1) имеет характерную функцию

φИкс(T)знак равно11+T2
которая является квадратом характеристической функции стандартного нормали продукта (см. /math/74013/characteristic-function-of-product-of-normal-random-variables ). Утверждение следует из того факта, что суммы независимых случайных величин относятся к произведениям характеристических функций.
Michael M
источник