Метод Z-счета Стоуффера: что если мы сложим вместо ?

Я выполняю независимых статистических тестов с одинаковой нулевой гипотезой и хотел бы объединить результаты в одно значение. Кажется, что есть два «принятых» метода: метод Фишера и метод Стоуффера .$N$$p$

Мой вопрос о методе Стоуффера. Для каждого отдельного теста я получаю z-оценку . Под нулевой гипотезой, каждый из них распределяются со стандартным нормальным распределением, так что сумма следует нормальному распределению с дисперсией . Поэтому метод Стоуффера предлагает вычислить , который должен обычно распределяться с дисперсией единицы, и затем использовать это как объединенную z-оценку.$z_i$$\Sigma z_i$$N$$\Sigma z_i / \sqrt{N}$

Это разумно, но вот еще один подход, который я предложил, и который также звучит разумно для меня. Поскольку каждое из происходит из стандартного нормального распределения, сумма квадратов должна из распределения хи-квадрат с степенями свободы. Таким образом, можно вычислить и преобразовать его в значение, используя кумулятивную функцию распределения хи-квадрат с степенями свободы ( , где - CDF).$z_i$$S=\Sigma z^2_i$$N$$S$$p$$N$$p=1−X_N(S)$$X_N$

Однако нигде я не могу найти этот подход даже упомянутым. Это когда-либо использовалось? У него есть имя? Каковы будут преимущества / недостатки по сравнению с методом Стоуффера? Или в моих рассуждениях есть недостаток?

Одним из недостатков, который выпадает, является то, что метод Стоуффера может обнаруживать систематические сдвиги в , что обычно можно ожидать, когда одна альтернатива неизменно верна, в то время как метод хи-квадрат, по-видимому, обладает меньшими возможностями для этого. Быстрое моделирование показывает, что это так; метод хи-квадрат менее эффективен для обнаружения односторонней альтернативы. Здесь приведены гистограммы p-значений обоими методами (красный = Стоуффер, синий = хи-квадрат) для независимых итераций с и различными односторонними стандартизированными эффектами диапазоне от none ( ) через SD ( ).10 5 N = 10 μ μ = 0 0,6 μ = $z_i$$10^5$$N=10$$\mu$$\mu=0$$0.6$$\mu=0.6$

Лучшая процедура будет иметь большую площадь, близкую к нулю. Для всех показанных положительных значений эта процедура является процедурой Стуффера.$\mu$

Код R

Это включает в себя метод Фишера (закомментированный) для сравнения.

n <- 10
n.iter <- 10^5
z <- matrix(rnorm(n*n.iter), ncol=n)

sim <- function(mu) {
  stouffer.sim <- apply(z + mu, 1, 
                    function(y) {q <- pnorm(sum(y)/sqrt(length(y))); 2*min(q, 1-q)})
  chisq.sim <- apply(z + mu, 1, 
                    function(y) 1 - pchisq(sum(y^2), length(y)))
  #fisher.sim <- apply(z + mu, 1,
  #                  function(y) {q <- pnorm(y); 
  #                     1 - pchisq(-2 * sum(log(2*pmin(q, 1-q))), 2*length(y))})
  return(list(stouffer=stouffer.sim, chisq=chisq.sim, fisher=fisher.sim))
}

par(mfrow=c(2, 3))
breaks=seq(0, 1, .05)
tmp <- sapply(c(0, .1, .2, .3, .4, .6), 
              function(mu) {
                x <- sim(mu); 
                hist(x[[1]], breaks=breaks, xlab="p", col="#ff606060",
                     main=paste("Mu =", mu)); 
                hist(x[[2]], breaks=breaks, xlab="p", col="#6060ff60", add=TRUE)
                #hist(x[[3]], breaks=breaks, xlab="p", col="#60ff6060", add=TRUE)
                })

Один из общих способов получить представление о статистике тестирования - это вывести (как правило, неявные) базовые предположения, которые позволят сделать эту статистику теста наиболее эффективной. Для этого конкретного случая студент и я недавно сделали это: http://arxiv.org/abs/1111.1210v2 (пересмотренная версия должна появиться в «Анналах прикладной статистики»).

Чтобы очень кратко суммировать (и в соответствии с результатами моделирования в другом ответе) метод Стоуффера будет наиболее мощным, когда «истинные» базовые эффекты все равны; сумма Z ^ 2 будет наиболее сильной, когда лежащие в основе эффекты обычно распределяются около 0. Это небольшое упрощение, которое опускает детали: см. раздел 2.5 в препринте arxiv, связанном выше, для более подробной информации.

Немного о / т: одной из проблем обоих этих подходов является потеря мощности из-за степеней свободы (N для Стоуффера; 2N для Фишера). Для этого были разработаны лучшие метааналитические подходы, которые вы, возможно, захотите рассмотреть (например, взвешенный метаанализ с обратной дисперсией).

Если вы ищете доказательства каких-то альтернативных тестов в группе, вы можете посмотреть статистику критики Донохо и Джина: https://projecteuclid.org/euclid.aos/1085408492

Чтобы ответить на этот вопрос и для дальнейших читателей: используется ли он когда-либо ?, есть исчерпывающая статья Cousins ​​(2008) об arXiv, в которой перечислены и рассмотрены несколько альтернативных подходов. Предлагаемый, похоже, не появляется.