Каковы «лучшие» метрики для ковариационных матриц и почему? Мне ясно, что Frobenius и c не подходят, и у параметризации угла тоже есть свои проблемы. Интуитивно можно хотеть компромисса между этими двумя, но я также хотел бы знать, есть ли другие аспекты, о которых следует помнить, и, возможно, устоявшиеся стандарты.
Обычные метрики имеют различные недостатки, поскольку они не являются естественными для ковариационных матриц, например, они часто не особенно штрафуют не PSD-матрицы или не ведут себя хорошо по рангу (рассмотрим два повернутых ковариационных эллипсоида низкого ранга: я бы хотел того же -пустите промежуточное вращение, чтобы иметь более низкие расстояния, чем среднее по компонентам, что не относится к и, возможно, к Фробениусу, пожалуйста, исправьте меня здесь). Также выпуклость не всегда гарантируется. Было бы хорошо, если бы эти и другие вопросы решались с помощью «хорошей» метрики.
Вот хорошее обсуждение некоторых вопросов, один пример из оптимизации сети и один из компьютерного зрения . И вот аналогичный вопрос, получая некоторые другие метрики, но без обсуждения.
источник
Ответы:
Ну, я не думаю, что есть хороший показатель или «лучший способ» для анализа ковариационных матриц. Анализ всегда должен соответствовать вашей цели. Допустим, C - моя ковариационная матрица. Диагональ содержит дисперсию для каждого вычисляемого параметра. Так что, если вы заинтересованы в значении параметров, тогда трассировка (C) - это хорошее начало, так как это ваша общая производительность.
Если вы построите свой параметр и его значение, вы увидите что-то вроде этого:
Если вы заинтересованы в их взаимной корреляции, то такая таблица может дать что-то интересное:
Каждый элемент является коэффициентом корреляции между параметром xi и xj. Из примера видно, что параметры x1 и x2 сильно коррелированы.
источник
Интересный вопрос, я сейчас занимаюсь той же проблемой! Это зависит от того, как вы определяете «лучшее», то есть ищете ли вы какое-то среднее значение для спреда или для корреляции между данными и т. Д. Я нашел в Press, SJ (1972): Applied Multivariate Analysis, p. 108, что обобщенная дисперсия, определенная как определитель ковариационной матрицы, полезна в качестве единственной меры для разброса. Но если вам нужна корреляция, мне нужно подумать дальше. Дай мне знать.
источник