Вопрос об обратном взвешивании

Предположим, мы хотим сделать вывод о ненаблюдаемой реализации случайной величины , которая обычно распределяется со средним значением и дисперсией . Предположим, есть еще одна случайная переменная (ненаблюдаемая реализация которой мы аналогично назовем ), которая обычно имеет среднее значение и дисперсию . Пусть - ковариация и . $x$ $\tilde x$ $\mu_x$ $\sigma^2_x$ $\tilde y$ $y$ $\mu_y$ $\sigma^2_y$ $\sigma_{xy}$ $\tilde x$ $\tilde y$

Теперь предположим, что мы наблюдаем сигнал на , где , и сигнал на , где . Предположим, что и независимы. $x$

\begin{aligned} a = x + \tilde{u}, \end{aligned}

$\begin{align}a=x+\tilde u,\end{align}$

\tilde{u} \sim N (0, ϕ_{x}^{2})

$\tilde u\sim\mathcal{N}(0,\phi_x^2)$

y

$y$

\begin{aligned} b = y + \tilde{v}, \end{aligned}

$\begin{align}b=y+\tilde v,\end{align}$

\tilde{v} \sim N (0, ϕ_{y}^{2})

$\tilde v\sim\mathcal{N}(0,\phi_y^2)$

\tilde{u}

$\tilde u$

\tilde{v}

$\tilde v$

Каково распределение условно по и ? $x$ $a$ $b$

Что я знаю до сих пор: используя взвешивание обратных дисперсий, и

\begin{aligned} E (x | a) = \frac{\frac{1}{σ_{x}^{2}} μ_{x} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}} a}{\frac{1}{σ_{x}^{2}} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}}}, \end{aligned}

$\begin{align}\mathbb{E}(x\,|\,a)=\frac{\frac{1}{\sigma_x^2}\mu_x+\frac{1}{\phi_x^2}a}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}},\end{align}$

\begin{aligned} V ar (x | a) = \frac{1}{\frac{1}{σ_{x}^{2}} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}}} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{V}\text{ar}(x\,|\,a)=\frac{1}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}}. \end{align}$

Поскольку и нарисованы совместно, должно содержать некоторую информацию о . Помимо этого, я застрял. Любая помощь приветствуется! $x$ $y$ $b$ $x$

meta-analysis bad_at_math
источник

Это выглядит точно так же, как первые несколько шагов по выводу фильтра Калмана. Вы можете посмотреть на вывод и подумать об усилении Калмана для обновления оценки ковариации состояния. cs.unc.edu/~welch/media/pdf/kalman_intro.pdf

EngrStudent

Спасибо за ответ! Я прочитал документ по вашей ссылке, но не вижу связи с фильтрацией Калмана. Есть какой-нибудь шанс, который вы могли бы уточнить? Я ценю помощь!

bad_at_math

@EngrStudent Если ОП незнаком с фильтром Калмана, я не понимаю, как это поможет. Возможно, вы могли бы вместо этого объяснить, как подойти к проблеме, не прибегая к какой-либо специфике (или жаргону), связанной с KF, хотя, возможно, воспользовавшись вашим пониманием этого, чтобы направить ответ на специфику здесь.

Glen_b

Кросс-пост на math.SE здесь

Glen_b

Ответы:

Я не уверен, применимы ли здесь весовые формулы обратной дисперсии. Однако я думаю, что вы могли бы вычислить условное распределение данных и , предполагая, что , , и следуют совместному многомерному нормальному распределению. $x$ $a$ $b$ $x$ $y$ $a$ $b$

В частности, если вы предполагаете (в соответствии с тем, что указано в вопросе), что тогда, допустив и , вы можете найти, что

[\begin{matrix} x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} μ_{x} \\ μ_{y} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{x}^{2} & σ_{x y} & 0 & 0 \\ σ_{x y} & σ_{y}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ϕ_{x}^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ϕ_{y}^{2} \end{matrix}])

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_y \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma_{xy} & 0 & 0 \\ \sigma_{xy} & \sigma^2_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \phi^2_x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \phi^2_y \end{matrix}\right] \right) \end{equation}$

a = x + u

$a=x+u$

b = y + v

$b=y+v$

[\begin{matrix} x \\ a \\ b \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} μ_{x} \\ μ_{x} \\ μ_{y} \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{x}^{2} & σ_{x}^{2} & σ_{x y} \\ σ_{x}^{2} & σ_{x}^{2} + ϕ_{x}^{2} & σ_{x y} \\ σ_{x y} & σ_{x y} & σ_{y}^{2} + ϕ_{y}^{2} \end{matrix}]) .

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ a \\ b \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_x \\ \mu_y \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma^2_x & \sigma^2_x + \phi^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma_{xy} & \sigma_{xy} & \sigma^2_y + \phi^2_y \end{matrix}\right] \right). \end{equation}$ (Обратите внимание, что в вышеприведенном подразумевается, что и не зависят друг от друга, а также от и .)

u

$u$

v

$v$

x

$x$

y

$y$

Отсюда вы можете найти условное распределение заданным и используя стандартные свойства многомерного нормального распределения (см. Здесь, например, http://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_normal_distribution#Conditional_distributions ). $x$ $a$ $b$

a.arfe
источник