Нахождение дисперсии оценки для максимального правдоподобия для распределения Пуассона

Если - это распределения Пуассона с параметром я определил, что максимальная оценка вероятности равна для данных . Поэтому мы можем определить соответствующий оценщик Мой вопрос: как бы вы определили дисперсию этой оценки? & beta ; & beta ; ( к 1 , ... , K п ) = $K_1, \dots, K_n$$\beta$k1,…,knT=

$$\hat\beta (k_1, \dots, k_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n k_i$$ $k_1, \dots, k_n$ $$T = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n K_i .$$

В частности, поскольку каждое следует распределению Пуассона с параметром я знаю, из свойств Пуассона, что распределение будет следовать распределению Пуассона с параметром , но что такое распределение ? β ∑ n i = 1 K i n β $K_i$$\beta$$\sum_{i=1}^n K_i$$n \beta$$T$

$T$ распределяется ... как переменная Пуассона, масштабируемая на . Следовательно, дисперсия равна .$n$$T$$1/n^2 \times n\beta$

Помните, что Всегда. Но если X i независимы, каково значение C o v ( X i X j ) ? Это все, что вам нужно, чтобы ответить на вопрос.

$$\mathbb{Var}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i\right) = \sum_{i=1}^n a_i^2\,\mathbb{Var}(X_i) + 2 \sum_{1\leq i<j\leq n} a_i\,a_j\,\mathbb{Cov}(X_i X_j) \, ,$$ $X_i$$\mathbb{Cov}(X_i X_j)$