Стандартная ошибка наклона в кусочно-линейной регрессии с известными точками останова

Ситуация

У меня есть набор данных с одной зависимой и одной независимой переменной . Я хочу согласовать непрерывную кусочно-линейную регрессию с известными / фиксированными точками останова, возникающими в . Точки останова известны без неопределенности, поэтому я не хочу их оценивать. Затем я подгоняю регрессию (OLS) в форме Вот примерx k ( a 1 , a 2 , … , a k ) y i = β 0 + β 1 x i + β 2 max ( x i - a 1 , 0 ) + β 3 max ( x i - a 2 , 0 ) + … + Β k + 1 max ( $y$$x$$k$$(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k})$

set.seed(123)
x <- c(1:10, 13:22)
y <- numeric(20)
y[1:10] <- 20:11 + rnorm(10, 0, 1.5)
y[11:20] <- seq(11, 15, len=10) + rnorm(10, 0, 2)

Давайте предположим, что точка останова происходит в :$k_1$$9.6$

mod <- lm(y~x+I(pmax(x-9.6, 0)))
summary(mod)

Coefficients:
                    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)          21.7057     1.1726  18.511 1.06e-12 ***
x                    -1.1003     0.1788  -6.155 1.06e-05 ***
I(pmax(x - 9.6, 0))   1.3760     0.2688   5.120 8.54e-05 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Перехват и наклон двух сегментов: и для первого и и для второго соответственно.$21.7$$-1.1$$8.5$$0.27$

Вопросов

1. Как легко рассчитать точку пересечения и уклон каждого отрезка? Можно ли переоценить модель, чтобы сделать это в одном расчете?
2. Как рассчитать стандартную ошибку каждого наклона каждого сегмента?
3. Как проверить, имеют ли два соседних уклона одинаковые уклоны (т. Е. Можно ли пропустить точку останова)?

1. Как легко рассчитать точку пересечения и уклон каждого отрезка?

$x=15$$-1.1003 + 1.3760 = 0.2757\,$,

Перехват немного сложнее, но это линейная комбинация коэффициентов (включая узлы).

$x=9.6$$21.7057 -1.1003 \times 9.6 = 11.1428$$(9.6, 11.428)$$0.2757$$11.1428 - 0.2757 \times 9.6 = 8.496$$\beta_0 - \beta_2 k_1 = 21.7057 - 1.3760 \times 9.6$

Можно ли перенастроить модель, чтобы сделать это за один расчет?

Ну да, но в целом, вероятно, проще просто вычислить его по модели.

2. Как рассчитать стандартную ошибку каждого наклона каждого сегмента?

$a^\top\hat\beta$$a$$a^\top\text{Var}(\hat\beta)a$

Например, в вашем примере стандартная ошибка наклона второго сегмента:

Sb <- vcov(mod)[2:3,2:3]
sqrt(sum(Sb))

альтернативно в матричной форме:

Sb <- vcov(mod)
a <- matrix(c(0,1,1),nr=3)
sqrt(t(a) %*% Sb %*% a)

3. Как проверить, имеют ли два соседних уклона одинаковые уклоны (т. Е. Можно ли пропустить точку останова)?

Это проверено, посмотрев на коэффициент в таблице этого сегмента. Смотрите эту строку:

I(pmax(x - 9.6, 0))   1.3760     0.2688   5.120 8.54e-05 ***

Это изменение наклона в 9,6. Если это изменение отличается от 0, два наклона не совпадают. Таким образом, значение p для теста, согласно которому второй сегмент имеет тот же наклон, что и первый, находится прямо в конце этой линии.

Мой наивный подход, который отвечает на вопрос 1:

mod2 <- lm(y~I((x<9.6)*x)+as.numeric((x<9.6))+
             I((x>=9.6)*x)+as.numeric((x>=9.6))-1)
summary(mod2)

#                        Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
# I((x < 9.6) * x)        -1.1040     0.2328  -4.743 0.000221 ***
# as.numeric((x < 9.6))   21.7188     1.3099  16.580 1.69e-11 ***
# I((x >= 9.6) * x)        0.2731     0.1560   1.751 0.099144 .  
# as.numeric((x >= 9.6))   8.5442     2.6790   3.189 0.005704 ** 

Но я не уверен, что статистика (в частности, степени свободы) сделаны правильно, если вы делаете это таким образом.