Дисперсия произведения k коррелированных случайных величин

Какова дисперсия произведения коррелированных случайных величин?$k$

Больше информации по этой теме, чем вам, вероятно, требуется, можно найти в Goodman (1962): «Дисперсия произведения из K случайных величин » , который выводит формулы как для независимых случайных величин, так и для потенциально коррелированных случайных величин, а также некоторые приближения. В более ранней статье ( Goodman, 1960 ) была получена формула для произведения ровно двух случайных переменных, которая несколько проще (хотя и довольно грубая), так что, возможно, лучше начать ее, если вы хотите понять вывод ,

Для полноты, однако, это идет так.

Две переменные

Предположим следующее:

• $x$ и две случайные величины$y$
• $X$ и - их (ненулевые) ожидания$Y$
• V ( у $V(x)$ и - их дисперсии$V(y)$
• δ $\delta_x = (x-X)/X$ (и аналогично для )$\delta_y$
• $D_{i,j} = E \left[ (\delta_x)^i (\delta_y)^j\right]$
• Δ $\Delta_x = x-X$ (и аналогично для )$\Delta_y$
• $E_{i,j} = E\left[(\Delta_x)^i (\Delta_y)^j\right]$
• V ( x ) / X 2 G ( Y $G(x)$ - квадрат коэффициента вариации: (аналогично для )$V(x)/X^2$$G(Y)$

Тогда: или эквивалентно:

$$V(xy) = (XY)^2[G(y) + G(x) + 2D_{1,1} + 2D_{1,2} + 2D_{2,1} + D_{2,2} - D_{1,1}^2]$$

$$V(xy) = X^2V(y) + Y^2V(x) + 2XYE_{1,1} + 2XE_{1,2} + 2YE_{2,1} + E_{2,2} - E_{1,1}^2$$

Более двух переменных

В статье 1960 года предполагается, что это упражнение для читателя (что, по-видимому, мотивировало статью 1962 года!).

Обозначения похожи, с несколькими расширениями:

• x $(x_1, x_2, \ldots x_n)$ случайные величины вместо и$x$$y$
• $M = E\left( \prod_{i=1}^k x_i \right)$
• $A = \left(M / \prod_{i=1}^k X_i\right) - 1$
• i = 1 , 2 , … $s_i$ = 0, 1 или 2 для$i = 1, 2, \ldots k$
• ( с 1 , с 2 , … с к$u$ = количество в$(s_1, s_2, \ldots s_k)$
• ( с 1 , с 2 , … с к$m$ = количество 2 в$(s_1, s_2, \ldots s_k)$
• m = 0 2 u m > $D(u,m) = 2^u - 2$ для и для ,$m=0$$2^u$$m>1$
• $C(s_1, s_2, \ldots, s_k) = D(u,m) \cdot E \left( \prod_{i=1}^k \delta_{x_i}^{s_i} \right)$
• 3 к - к - 1 ( ев 1 , ев 2 , ... s к ) 2 м + у > $\sum_{s_1 \cdots s_k}$ указывает суммирование наборов где$3^k - k -1$$(s_1, s_2, \ldots s_k)$$2m + u > 1$

Тогда, наконец-то:

$$V\left(\prod_{i=1}^k x_i\right) = \prod X_i^2 \left( \sum_{s_1 \cdots s_k} C(s_1, s_2 \ldots s_k) - A^2\right)$$

Смотрите документы для деталей и чуть более подходящих приближений!

Просто чтобы добавить к удивительному ответу Мэтта Краузе (на самом деле его легко получить). Если x, y независимы, то

$$\begin{equation*} \begin{split} E_{1,1} &= E[(x-E[x])(y-E[y])] = Cov(x,y) = 0\\ E_{1,2} &= E[(x-E[x])(y-E[y])^2] \\ &= E[x-E(x)]E[(y-E[y])^2] \\ &= (E[x]-E[x])E[(y-E[y])^2]=0\\ E_{2,1} &= 0\\ E_{2,2} &= E[(x-E[x])^2(y-E[y])^2]\\ &= E[(x-E[x])^2]E[(y-E[y])^2\\ &= V[x]V[y]\\ V[xy] &= E[x]^2 V[y] + E[y]^2 V[x] + V[x]V[y] \end{split} \end{equation*}$$

В дополнение к общей формуле, данной Мэттом, стоит отметить, что существует несколько более явная формула для гауссовских случайных величин с нулевым средним. Это следует из теоремы Иссерлиса , см. Также высшие моменты для центрированного многомерного нормального распределения.

Предположим, что следует многомерному нормальному распределению со средним 0 и ковариационной матрицей . Если число переменных нечетное, и где означает сумму по всем разбиениям на непересекающихся пар причем каждый член является произведением соответствующих и где $(x_1, \ldots, x_k)$$\Sigma$$k$$E\left(\prod_i x_i\right) = 0$

$$V\left(\prod_i x_i\right) = E\left( \prod_i x_i^2\right) = \sum \prod \tilde{\Sigma}_{i,j}$$ $\Sigma \prod$$\{1, \ldots, 2k\}$$k$$\{i, j\}$$k$ $\tilde{\Sigma}_{i,j}$ $$\tilde{\Sigma} = \left( \begin{array}{cc} \Sigma & \Sigma \\ \Sigma & \Sigma \end{array} \right)$$ - ковариационная матрица для . Если четное, то В случае получаем Если мы получаем где в сумме 15 членов.K V ( П я х я ) = V ( х 1 х 2 ) = Е 1 , 1 Е 2 , 2 + 2 ( Е 1 , 2 ) 2 - Е 2 1 , 2 = Σ 1 , $(x_1, \ldots, x_k, x_1, \ldots, x_k)$$k$ $$V\left(\prod_i x_i\right) = \sum \prod \tilde{\Sigma}_{i,j} - \left(\sum \prod \Sigma_{i,j}\right)^2.$$ $k = 2$ $$V(x_1x_2) = \Sigma_{1,1} \Sigma_{2,2} + 2 (\Sigma_{1,2})^2 - \Sigma_{1,2}^2 = \Sigma_{1,1} \Sigma_{2,2} + (\Sigma_{1,2})^2.$$ $k = 3$ $$V(x_1x_2x_3) = \sum \Sigma_{i,j}\Sigma_{k,l}\Sigma_{r,t},$$

Фактически возможно реализовать общую формулу. Самая сложная часть - это вычисление требуемых разделов. В R это можно сделать с помощью функции setpartsиз пакета partitions. Используя этот пакет, можно было без проблем сгенерировать 2 027 025 разделов для , 34 459 425 разделов для , но не 654 729 075 разделов для (на моем ноутбуке объемом 16 ГБ).k = 9 k = $k = 8$$k = 9$$k = 10$

Пара других вещей стоит отметить. Во-первых, для гауссовых переменных с ненулевым средним должно быть возможно вывести выражение также из теоремы Иссерлиса. Во-вторых, неясно (для меня), является ли приведенная выше формула устойчивой к отклонениям от нормальности, то есть может ли она использоваться в качестве приближения, даже если переменные не являются многомерными нормально распределенными. В-третьих, хотя вышеприведенные формулы верны, сомнительно, насколько дисперсия говорит о распределении продуктов. Даже при распределение продукта является довольно лептокуртическим, а при больших оно быстро становится чрезвычайно лептокуртическим.$k = 2$$k$