Объединение двух ковариационных матриц

Я вычисляю ковариацию распределения параллельно, и мне нужно объединить распределенные результаты в единственном гауссовском. Как мне совместить два?

Линейная интерполяция между двумя почти работами, если они одинаково распределены и измерены.

В Википедии внизу есть форумла для комбинации, но она кажется неправильной; два одинаково распределенных распределения должны иметь одинаковую ковариацию, но формула внизу страницы удваивает ковариацию.

Есть ли способ объединить две матрицы?

covariance moments Мэтт Кемп
источник

Формула Википедии отвечает на ваш вопрос, Мэтт: вы, возможно, не заметили, что это частичная формула, после которой вам нужно разделить размер выборки.

whuber

Я понял это сейчас, с вашей помощью - если вы включите это в ответ, я отмечу это как ответ.

Мэтт Кемп

Этот вопрос часто возникает в разных ипостасях. Что для них общего

Как я могу объединить статистику на основе моментов, которая была вычислена из непересекающихся подмножеств моих данных?

Самое простое приложение касается данных, которые были разделены на две группы. Вы знаете размеры группы и групповые средства. С точки зрения только этих четырех величин, каково общее значение данных?

Другие приложения обобщают от среднего значения до дисперсии, стандартных отклонений, ковариационных матриц, асимметрии и многомерной статистики; и может включать несколько подгрупп данных. Обратите внимание, что многие из этих величин представляют собой несколько сложные комбинации моментов: например, стандартное отклонение представляет собой квадратный корень из квадратичной комбинации первого и второго моментов (среднего и среднего квадрата).

Все такие случаи легко обрабатываются путем уменьшения различных моментов до сумм, потому что суммы очевидно и легко объединяются: они складываются. Математически все сводится к следующему: у вас есть пакет данных , которые были разделены на непересекающиеся группы размеров : $X = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ $j_1, j_2, \ldots, j_g$ . Назовем ю группу $(x_1, x_2, \ldots, x_{j_1}; x_{j_1+1}, \ldots, x_{j_1+j_2}; x_{j_1+j_2+1}, \ldots; \ldots; \ldots, x_n)$ $i$ . По определению,ймоментлюбой партии данныхявляется средним значениемй степени, $X_{(i)} = (x_{j_i+1},x_{j_i+2}, \ldots, x_{j_{i+1}})$ $k$ $y_1, \ldots, y_j$ $k$

μ_{k} (y) = (y_{1}^{k} + y_{2}^{k} + \dots + y_{j}^{k}) / j .

$\mu_k(y) = \left(y_1^k + y_2^k + \cdots + y_j^k\right)/j.$

$j \mu_k(y)$ $k$ $g$ $n$

\begin{aligned} n μ_{k} (X) & = (x_{1}^{k} + x_{2}^{k} + \dots + x_{n}^{k}) \\ = (x_{1}^{k} + x_{2}^{k} + \dots + x_{j_{1}}^{k}) + \dots + (x_{j_{1} + \dots + j_{g - 1} + 1}^{k} + x_{j_{1} + \dots + j_{g - 1} + 2}^{k} + \dots + x_{n}^{k}) \\ = j_{1} μ_{k} (X_{(1)}) + j_{2} μ_{k} (X_{(2)}) + \dots + j_{g} μ_{k} (X_{(g)}) . \end{aligned}

$\eqalign{ n \mu_k(X) &= \left(x_1^k + x_2^k + \cdots + x_n^k\right) \\ &= \left(x_1^k + x_2^k + \cdots + x_{j_1}^k\right) + \cdots + \left(x_{j_1+\cdots+j_{g-1}+1}^k + x_{j_1+\cdots+j_{g-1}+2}^k + \cdots + x_n^k\right)\\ &= j_1 \mu_k(X_{(1)}) + j_2 \mu_k(X_{(2)}) + \cdots + j_g \mu_k(X_{(g)}). }$

$n$ $k$ $k$

$x$ $y$

((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})),

$((x_1,y_1), (x_2,y_2), \ldots, (x_n,y_n)),$

$g$ $x_iy_i$ $(1,1)$ $\mu_{(1,1)}$ $n$

$n-1$ $n$ $n-1$ $j_i-1$ $n$ $j_i$

$n$

Whuber
источник

Я немного запутался в определении k-го момента. Вы предполагаете данные с нулевым средним?

Решу

k^{th}

$k^\text{th}$

Плохо может! Я смешивал «центральные» и «сырые» моменты. Спасибо за разъяснение!

Решу

Я думаю, что «знать средства размеров подгрупп» в предпоследнем абзаце следует читать «знать средства подгрупп» вместо этого? (Я не решаюсь отредактировать это самостоятельно, так как не удосужился внимательно изучить ответ)

Юхо Коккала

@Juho Вы совершенно правы. Спасибо, что заметили это!

whuber

Объединение двух ковариационных матриц

Ответы: