Интуитивное понимание ковариации, кросс-ковариации, авто- / кросс-корреляции и плотности спектра мощности

В настоящее время я готовлюсь к выпускным экзаменам по базовой статистике для моего бакалавра ЕЭК.

Хотя я думаю, что математика в основном не работает, мне не хватает интуитивного понимания, что на самом деле означают цифры (Преамбула: я буду использовать довольно небрежный язык).

Я знаю, что E [X] является «средневзвешенным значением» всех результатов X, взвешенных по их вероятности.

Var [X] дает ожидаемое отклонение от этого E [X] в квадрате, поэтому говорит нам кое-что о «размытости» распределения.

Другие свойства Я знаю формулы, но не хватает какой-либо интуиции. У кого-нибудь есть хорошие объяснения / ресурсы, чтобы помочь с этим?

$X$$Y$$X$$Y$$X$$Y$$X$$Y$

$\sigma_x \cdot \sigma_y$

$t$$(t-1)$$(t-2)$и т. д. Высокие автокорреляции могут указывать на то, что ряд изменяется медленно или, что эквивалентно, текущее значение предсказуемо из предыдущих значений. Хотя дисперсия и ковариация являются скалярами (т. Е. Одиночными значениями), автокорреляция является вектором - вы получаете значение автокорреляции для каждого «лага» или «разрыва». Белый шум имеет очень плоскую функцию автокорреляции, поскольку он случайный; Естественные изображения обычно имеют широкие пространственные автокорреляции, поскольку соседние пиксели часто имеют одинаковый цвет и яркость. У эха может быть пик около центра (поскольку звуки самоподобны), плоская область во время молчания, а затем еще один пик, который составляет само эхо.

$X$$Y$$X$$X$$Y$$X$$Y$

В авто-ковариаций и кросс-ковариационной функции , как и их эквиваленты корреляции, но Немасштабируемая; это та же разница, что и между ковариацией и корреляцией.

Мощности спектральная плотность говорит вам , как мощность сигнала распределяется на различные частоты. PSD чистого тона (т. Е. Синусоида) является плоским, за исключением частоты тона; Натуралистические сигналы и звуки имеют гораздо более сложные PSD с гармониками, обертонами, резонансами и т. Д. Это связано с другими концепциями, поскольку преобразование Фурье функции автокорреляции - это PSD.