Ковариантность преобразованных случайных величин

12

У меня есть две случайные величины и .Y > 0X>0Y>0

Учитывая, что я могу оценить как я могу оценитьCov ( log ( X ) , log ( Y ) ) ?

Cov(X,Y),
Cov(log(X),log(Y))?
user7064
источник
3
Этот прошлый вопрос задавался о корреляции, а не ковариации, но он связан с: stats.stackexchange.com/questions/35941/…
Дуглас Заре

Ответы:

16

Можно использовать подход расширения Тейлора:

http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_expansions_for_the_moments_of_functions_of_random_variables

Редактировать:

Возьмем , .V = log ( Y )U=log(X)V=log(Y)

Используйте многомерное разложение Тейлора для вычисления приближения к (аналогично примеру в конце «Первого момента» в ссылке, которая делает более простой случай и использовать одномерные разложения для вычисления приближений к и (как указано в первой части того же раздела) с аналогичной точностью. Из этих вещей вычислите (приблизительную) ковариацию.E ( X .1 / Y ) ) E ( U ) E ( V )E(UV)E(X.1/Y))E(U)E(V)

Расширяя до такой же степени аппроксимации, как в примере в ссылке, я думаю, что вы получите термины в среднем и дисперсии каждой (не преобразованной) переменной и их ковариацию.

Изменить 2:

Но вот небольшая хитрость, которая может сэкономить некоторые усилия:

Обратите внимание, что и и .X = exp ( U ) Y = exp ( V )E(XY)=Cov(X,Y)+E(X)E(Y)X=exp(U)Y=exp(V)

Учитывая у нас есть

E[f(X)]f(μX)+f(μX)2σX2
E(exp(U))exp(μU)+exp(μU)2σU2exp(μU+12σU2)

Изменить: Этот последний шаг следует из приближения Тейлора , что хорошо для малого (принимая ).exp(b)1+bbb=12σU2

(это приближение является точным для , normal: )UVE(exp(U))=exp(μU+12σU2)

ПустьW=U+V

E(XY)=E(exp(U).exp(V))=E(exp(W))

exp(μW)+exp(μW)2σW2exp(μW+12σW2)

и учитывая , затемVar(W)=Var(U)+Var(V)+2Cov(U,V)

(Редактировать:)

1+Cov(X,Y)E(X)E(Y)=E(XY)E(X)E(Y)
exp(μW+12σW2)exp(μU+12σU2).exp(μV+12σV2)
exp(μU+μV+12(σU2+σV2+2Cov(U,V)))exp(μU+12σU2).exp(μV+12σV2)
exp[Cov(U,V)]

Следовательно, . Это должно быть точно для двумерного гауссова.Cov(U,V)log(1+Cov(X,Y)E(X)E(Y))U,V

Если бы вы использовали первое приближение, а не второе, вы получили бы здесь другое приближение.

Glen_b - Восстановить Монику
источник
Не могли бы вы дать немного больше деталей, пожалуйста? Во всяком случае, спасибо за предложение
user7064
Отредактировано для деталей.
Glen_b
Спасибо @Glend_b. Я приму, когда детали будут добавлены. А пока +1 :-)
user7064
Не стоит беспокоиться; Я был занят в то время, а потом совсем забыл. Теперь исправлено
Glen_b
Обычно это работает лучше для негауссовых переменных, если дисперсии и малы (эквивалентно, если коэффициенты вариации и малы). UVXY
Glen_b
8

Без каких-либо дополнительных предположений относительно и невозможно вывести ковариацию бревна, зная начальную ковариацию. С другой стороны, если вы смогли вычислить из и , что мешает вам вычислить из и напрямую?XYCov(X,Y)XYCov(log(X),log(Y))log(X)log(Y)

ThePawn
источник