Используйте многомерное разложение Тейлора для вычисления приближения к (аналогично примеру в конце «Первого момента» в ссылке, которая делает более простой случай и использовать одномерные разложения для вычисления приближений к и (как указано в первой части того же раздела) с аналогичной точностью. Из этих вещей вычислите (приблизительную) ковариацию.E ( X .1 / Y ) ) E ( U ) E ( V )E(UV)E(X.1/Y))E(U)E(V)
Расширяя до такой же степени аппроксимации, как в примере в ссылке, я думаю, что вы получите термины в среднем и дисперсии каждой (не преобразованной) переменной и их ковариацию.
Изменить 2:
Но вот небольшая хитрость, которая может сэкономить некоторые усилия:
Обратите внимание, что и и .X = exp ( U ) Y = exp ( V )E(XY)=Cov(X,Y)+E(X)E(Y)X=exp(U)Y=exp(V)
Учитывая
у нас есть
E[f(X)]≈f(μX)+f′′(μX)2σ2X
E(exp(U))≈exp(μU)+exp(μU)2σ2U≈exp(μU+12σ2U)
Изменить: Этот последний шаг следует из приближения Тейлора , что хорошо для малого (принимая ).exp(b)≈1+bbb=12σ2U
(это приближение является точным для , normal: )UVE(exp(U))=exp(μU+12σ2U)
Не могли бы вы дать немного больше деталей, пожалуйста? Во всяком случае, спасибо за предложение
user7064
Отредактировано для деталей.
Glen_b
Спасибо @Glend_b. Я приму, когда детали будут добавлены. А пока +1 :-)
user7064
Не стоит беспокоиться; Я был занят в то время, а потом совсем забыл. Теперь исправлено
Glen_b
Обычно это работает лучше для негауссовых переменных, если дисперсии и малы (эквивалентно, если коэффициенты вариации и малы). UVXY
Glen_b
8
Без каких-либо дополнительных предположений относительно и невозможно вывести ковариацию бревна, зная начальную ковариацию. С другой стороны, если вы смогли вычислить из и , что мешает вам вычислить из и напрямую?XYCov(X,Y)XYCov(log(X),log(Y))log(X)log(Y)
Ответы:
Можно использовать подход расширения Тейлора:
http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_expansions_for_the_moments_of_functions_of_random_variables
Редактировать:
Возьмем , .V = log ( Y )U=log(X) V=log(Y)
Используйте многомерное разложение Тейлора для вычисления приближения к (аналогично примеру в конце «Первого момента» в ссылке, которая делает более простой случай и использовать одномерные разложения для вычисления приближений к и (как указано в первой части того же раздела) с аналогичной точностью. Из этих вещей вычислите (приблизительную) ковариацию.E ( X .1 / Y ) ) E ( U ) E ( V )E(UV) E(X.1/Y)) E(U) E(V)
Расширяя до такой же степени аппроксимации, как в примере в ссылке, я думаю, что вы получите термины в среднем и дисперсии каждой (не преобразованной) переменной и их ковариацию.
Изменить 2:
Но вот небольшая хитрость, которая может сэкономить некоторые усилия:
Обратите внимание, что и и .X = exp ( U ) Y = exp ( V )E(XY)=Cov(X,Y)+E(X)E(Y) X=exp(U) Y=exp(V)
Учитывая у нас есть
Изменить: Этот последний шаг следует из приближения Тейлора , что хорошо для малого (принимая ).exp(b)≈1+b b b=12σ2U
(это приближение является точным для , normal: )U V E(exp(U))=exp(μU+12σ2U)
ПустьW=U+V
и учитывая , затемVar(W)=Var(U)+Var(V)+2Cov(U,V)
(Редактировать:)
Следовательно, . Это должно быть точно для двумерного гауссова.Cov(U,V)≈log(1+Cov(X,Y)E(X)E(Y)) U,V
Если бы вы использовали первое приближение, а не второе, вы получили бы здесь другое приближение.
источник
Без каких-либо дополнительных предположений относительно и невозможно вывести ковариацию бревна, зная начальную ковариацию. С другой стороны, если вы смогли вычислить из и , что мешает вам вычислить из и напрямую?X Y Cov(X,Y) X Y Cov(log(X),log(Y)) log(X) log(Y)
источник