Я пытаюсь понять философию использования Обобщенной линейной модели (GLM) по сравнению с линейной моделью (LM). Я создал пример набора данных ниже, где:
В этом примере ошибка зависит от величины , поэтому я предположил бы, что линейная модель лог-преобразованного y будет наилучшей. В приведенном ниже примере это действительно так (я думаю) - поскольку AIC LM на лог-преобразованных данных является самым низким. AIC GLM гамма-распределения с функцией log-link имеет меньшую сумму квадратов (SS), но дополнительные степени свободы приводят к несколько более высокому AIC. Я был удивлен, что гауссовское распределение AIC намного выше (хотя SS - самая низкая из моделей).
Я надеюсь получить несколько советов о том, когда следует подходить к моделям GLM - т.е. есть ли что-то, что я должен искать в моих остатках соответствия модели LM, чтобы сказать мне, что другое распределение является более подходящим? Кроме того, как следует поступить в выборе подходящего семейства распределения.
Заранее большое спасибо за вашу помощь.
[РЕДАКТИРОВАТЬ]: Теперь я настроил итоговую статистику так, чтобы SS лог-преобразованной линейной модели был сопоставим с моделями GLM с функцией log-link. График статистики теперь отображается.
пример
set.seed(1111)
n <- 1000
y <- rnorm(n, mean=0, sd=1)
y <- exp(y)
hist(y, n=20)
hist(log(y), n=20)
x <- log(y) - rnorm(n, mean=0, sd=1)
hist(x, n=20)
df <- data.frame(y=y, x=x)
df2 <- data.frame(x=seq(from=min(df$x), to=max(df$x),,100))
#models
mod.name <- "LM"
assign(mod.name, lm(y ~ x, df))
summary(get(mod.name))
plot(y ~ x, df)
lines(predict(get(mod.name), newdata=df2) ~ df2$x, col=2)
mod.name <- "LOG.LM"
assign(mod.name, lm(log(y) ~ x, df))
summary(get(mod.name))
plot(y ~ x, df)
lines(exp(predict(get(mod.name), newdata=df2)) ~ df2$x, col=2)
mod.name <- "LOG.GAUSS.GLM"
assign(mod.name, glm(y ~ x, df, family=gaussian(link="log")))
summary(get(mod.name))
plot(y ~ x, df)
lines(predict(get(mod.name), newdata=df2, type="response") ~ df2$x, col=2)
mod.name <- "LOG.GAMMA.GLM"
assign(mod.name, glm(y ~ x, df, family=Gamma(link="log")))
summary(get(mod.name))
plot(y ~ x, df)
lines(predict(get(mod.name), newdata=df2, type="response") ~ df2$x, col=2)
#Results
model.names <- list("LM", "LOG.LM", "LOG.GAUSS.GLM", "LOG.GAMMA.GLM")
plot(y ~ x, df, log="y", pch=".", cex=3, col=8)
lines(predict(LM, newdata=df2) ~ df2$x, col=1, lwd=2)
lines(exp(predict(LOG.LM, newdata=df2)) ~ df2$x, col=2, lwd=2)
lines(predict(LOG.GAUSS.GLM, newdata=df2, type="response") ~ df2$x, col=3, lwd=2)
lines(predict(LOG.GAMMA.GLM, newdata=df2, type="response") ~ df2$x, col=4, lwd=2)
legend("topleft", legend=model.names, col=1:4, lwd=2, bty="n")
res.AIC <- as.matrix(
data.frame(
LM=AIC(LM),
LOG.LM=AIC(LOG.LM),
LOG.GAUSS.GLM=AIC(LOG.GAUSS.GLM),
LOG.GAMMA.GLM=AIC(LOG.GAMMA.GLM)
)
)
res.SS <- as.matrix(
data.frame(
LM=sum((predict(LM)-y)^2),
LOG.LM=sum((exp(predict(LOG.LM))-y)^2),
LOG.GAUSS.GLM=sum((predict(LOG.GAUSS.GLM, type="response")-y)^2),
LOG.GAMMA.GLM=sum((predict(LOG.GAMMA.GLM, type="response")-y)^2)
)
)
res.RMS <- as.matrix(
data.frame(
LM=sqrt(mean((predict(LM)-y)^2)),
LOG.LM=sqrt(mean((exp(predict(LOG.LM))-y)^2)),
LOG.GAUSS.GLM=sqrt(mean((predict(LOG.GAUSS.GLM, type="response")-y)^2)),
LOG.GAMMA.GLM=sqrt(mean((predict(LOG.GAMMA.GLM, type="response")-y)^2))
)
)
png("stats.png", height=7, width=10, units="in", res=300)
#x11(height=7, width=10)
par(mar=c(10,5,2,1), mfcol=c(1,3), cex=1, ps=12)
barplot(res.AIC, main="AIC", las=2)
barplot(res.SS, main="SS", las=2)
barplot(res.RMS, main="RMS", las=2)
dev.off()
источник
Ответы:
Хорошие усилия для обдумывания этой проблемы. Вот неполный ответ, но некоторые из них для следующих шагов.
Во-первых, оценки AIC - основанные на вероятностях - находятся в разных масштабах из-за разных распределений и функций связи, поэтому не являются сопоставимыми. Ваша сумма квадратов и средняя сумма квадратов были рассчитаны в исходном масштабе и, следовательно, находятся в том же масштабе, поэтому их можно сравнить, хотя вопрос о том, является ли это хорошим критерием для выбора модели, является другим вопросом (может быть, или нет - поискать перекрестные проверенные архивы по выбору модели для хорошего обсуждения этого).
Для вашего более общего вопроса, хороший способ сосредоточиться на проблеме - рассмотреть разницу между LOG.LM (ваша линейная модель с ответом как log (y)); и LOG.GAUSS.GLM, glm с ответом в виде y и функцией связи журнала. В первом случае подходящая модель:
и в случае glm () это:
источник
О распределении семейства на мой взгляд стоит вопрос о дисперсии и ее связи со средним. Например, в гауссовой семье у нас есть постоянная дисперсия. В гамма-семействе мы имеем дисперсию как квадратичную функцию от среднего значения. График ваши стандартизированные остатки против установленных значений и посмотреть, как они есть.
источник
R
Метрики для этой модели (например, AIC) не будут сопоставимы с вашими моделями. Тем не менее, мы знаем, что это правильная модель, основанная на процессе генерирования данных, и заметим, что оценочные коэффициенты точно соответствуют цели.
источник
x = log(y) - rnorm(n, mean=0, sd=1)
, вы получаете log (y) = x + rnorm (n, mean = 0, sd = 1). Если комментарий @ whuber породил ваш ответ (я верю, что так и сделал), то я думаю, что он имеет в виду не генерацию данных, а формулировку модели GLM @peterellis.Выбор основан на вашей гипотезе о вашей переменной.
гамма-распределение основано на
Логарифмическое преобразование основывается на гипотезе, что
Таким образом,
Основываясь на правиле Тейлора,
Мы получили
Таким образом,
Однако гамма-распределение основывается на гипотезе о том, что
источник