Модель для оценки плотности населения

База данных (население, площадь, форма) может быть использована для отображения плотности населения путем назначения постоянной величины населения / площади для каждой фигуры (которая является многоугольником, таким как блок переписи, участок, округ, штат и т. Д.). Однако популяции обычно не равномерно распределены по своим полигонам. Дасиметрическое отображение - это процесс уточнения этих оценок плотности с помощью вспомогательных данных. Это важная проблема в социальных науках, как показывает этот недавний обзор .

Предположим, что у нас есть вспомогательная карта земного покрова (или любой другой дискретный фактор). В простейшем случае мы можем использовать явно необитаемые районы, такие как водоемы, чтобы определить, где не находится население, и, соответственно, назначить все население на оставшиеся районы. В более общем смысле каждый блок переписи $j$ на $k$ частей, имеющих площади поверхности $x_{ji}$ , $i = 1, 2, \ldots, k$ . Таким образом, наш набор данных дополнен списком кортежей

где - совокупность (предполагаемая измеренная без ошибок) в единицах j и - хотя это не совсем так - мы можем предположить, что каждый x j i также точно измеряется. В этих терминах цель состоит в том, чтобы разделить каждый y $y_{j}$$j$$x_{ji}$$y_{j}$ на сумму

где каждый и z j i оценивает население в пределах единицы j, проживающей в классе земельного покрова i . Оценки должны быть объективными. Этот раздел уточняет карту плотности населения, присваивая плотность z j i / x j i пересечению полигона j- й переписи и i- го класса земного покрова. $z_{ji} \ge 0$$z_{ji}$$j$$i$$z_{ji}/x_{ji}$$j^{\text{th}}$$i^{\text{th}}$

Эта проблема отличается от стандартных настроек регрессии существенными способами:

1. Разбиение каждого должно быть точным. $y_{j}$
2. Компоненты каждого раздела должны быть неотрицательными.
3. Нет (по предположению) ошибки ни в одном из данных: все население имеет значение и все области x j $y_{j}$$x_{ji}$ являются правильными.

Существует много подходов к решению, таких как метод « интеллектуального дазиметрического картирования », но все те, о которых я читал, имеют специальные элементы и очевидный потенциал для предвзятости. Я ищу ответы, которые предлагают творческие, вычислительные статистические методы. Непосредственное применение касается коллекции ц. - 10 6 Переписные единицы в среднем по 40 человек на человека (хотя значительная часть имеет 0 человек) и около десятка классов земного покрова.$10^{5}$$10^{6}$

Вы можете проверить работу Митчела Лэнгфорда по дазиметрическому картированию.

Он строит растры, представляющие распределение населения Уэльса, и некоторые из его методологических подходов могут быть полезны здесь.

Обновление: Вы также можете взглянуть на работу Джереми Менниса (особенно эти две статьи).

Интересный вопрос. Вот предварительный удар по приближению к этому со статистической точки зрения. Предположим, что мы придумали способ присвоения численности населения каждой области . Обозначим эти отношения как ниже:$x_{ji}$

$z_{ji} = f(x_{ji},\beta)$

Ясно, что любая функциональная форма, которую мы навязываем Будет в лучшем случае приближением к реальным отношениям и, следовательно, потребностью включать ошибку в вышеприведенное уравнение. Таким образом, вышесказанное становится:$f(.)$

$z_{ji} = f(x_{ji},\beta) + \epsilon_{ji}$

где,

$\epsilon_{ji} \sim N(0,\sigma^2)$

Предположение о распределении ошибок по условию ошибки приведено в иллюстративных целях. При необходимости мы можем изменить его по мере необходимости.

$y_{ji}$$f(.)$

$\sum_i{\epsilon_{ji}} = 0$

$\sum_i{f(x_{ji},\beta)} = y_j$

${z_{ji}}$$z_j$${f(x_{ji},\beta)}$ by $f_j$. Thus, we have:

$z_j \sim N(f_j,\sigma^2 I) I({f_j}' e = y_j) I((z_j-f_j)' e = 0)$

where,

$e$ is a vector of ones of appropriate dimension.

The first indicator constraint captures the idea that the sum of the deterministic terms should sum to $y_j$ and the second one captures the idea that the error residuals should sum to 0.

Model selection is trickier as we are decomposing the observed $y_j$ exactly. Perhaps, a way to approach model selection is to choose the model that yields the lowest error variance i.e., the one that yields the lowest estimate of $\sigma^2$.

Edit 1

Thinking some more the above formulation can be simplified as it has more constraints than needed.

$z_{ji} = f(x_{ji},\beta) + \epsilon_{ji}$

where,

$\epsilon_{ji} \sim N(0,\sigma^2)$

Denote the stacked vector of ${z_{ji}}$ by $z_j$ and the stacked deterministic terms of ${f(x_{ji},\beta)}$ by $f_j$. Thus, we have:

$z_j \sim N(f_j,\sigma^2 I) I({z_j}' e = y_j)$

where,

$e$ is a vector of ones of appropriate dimension.

The constraint on $z_j$ ensures an exact decomposition.