Распределения, отличные от нормальных, где среднее значение и дисперсия независимы

Мне было интересно, есть ли какие-либо распределения, кроме нормального, где среднее значение и дисперсия не зависят друг от друга (или, другими словами, где дисперсия не является функцией среднего значения).

distributions Wolfgang
источник

Я не уверен, правильно ли я понял вопрос. Вы спрашиваете, есть ли какие-либо распределения кроме нормального, которые полностью определены средним значением и дисперсией? В некотором смысле дисперсия является функцией среднего значения, поскольку она является мерой дисперсии вокруг среднего, но я думаю, это не то, что вы имеете в виду.

Вы имеете в виду среднее значение выборки и дисперсию выборки независимы. Хороший вопрос ! может быть, проекция гауссовой случайной величины сохранит независимость?

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2}

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$

Робин Жирар

Срикант прав. Если вопрос касается «выборочного среднего значения и дисперсии», то ответ «нет». Если вопрос касается среднего значения и дисперсии населения, то ответ - да; Дэвид приводит хорошие примеры ниже.

Просто чтобы уточнить, что я имел в виду, это. Для нормального распределения среднее и дисперсия полностью характеризуют распределение, а не является функцией . Для многих других дистрибутивов это не так. Например, для биномиального распределения мы имеем среднее значение и дисперсию , поэтому дисперсия является функцией среднего значения. Другими примерами являются гамма-распределение с параметрами (масштаб) и (форма), где среднее значение равно а дисперсия , поэтому на самом деле дисперсия

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

μ

$\mu$

π

$\pi$

n π (1 - π)

$n\pi(1-\pi)$

θ

$\theta$

κ

$\kappa$

μ = κ θ

$\mu = \kappa \theta$

κ t h e t a^{2}

$\kappa theta^2$

μ θ

$\mu \theta$ ,

Вольфганг

Пожалуйста, подумайте над тем, чтобы изменить свой вопрос, потому что ответ, который вы проверили как предпочтительный ответ, не отвечает на вопрос в том виде, в каком он есть (а другой ответ). В настоящее время вы используете слово «независимый» в своеобразном смысле. Ваш пример с Gamma показывает это: можно просто перепараметризовать Gamma с точки зрения среднего (mu) и дисперсии (сигма), потому что мы можем восстановить theta = sigma / mu и kappa = mu ^ 2 / sigma. Другими словами, функциональная «независимость» параметров обычно не имеет смысла (за исключением однопараметрических семейств).

whuber

Ответы:

Примечание: пожалуйста, прочитайте ответ @G. Джей Кернс, и см. Карлин и Льюис 1996 или ваш любимый справочник вероятности для фона о вычислении среднего и дисперсии как ожидаемого значения и второго момента случайной величины.

Быстрый просмотр Приложения A в работе Carlin and Lewis (1996) дает следующие распределения, которые подобны в этом отношении нормальному, в том смысле, что одни и те же параметры распределения не используются в расчетах среднего значения и дисперсии. Как отмечает @robin, при расчете оценок параметров из выборки для расчета сигма требуется среднее значение выборки.

Многомерный нормальный

Е (Икс) знак равно μ

$E(X) = \mu$

В a р (Икс) знак равно Σ

$Var(X) = \Sigma$

т и многомерный т:

Е (Икс) знак равно μ

$E(X) = \mu$

В a р (Икс) знак равно ν σ^{2} / (ν - 2)

$Var(X) = \nu\sigma^2/(\nu - 2)$

Двойная экспонента:

Е (Икс) знак равно μ

$E(X) = \mu$

В a р (Икс) знак равно 2 σ^{2}

$Var(X) = 2\sigma^2$

Коши: С некоторой квалификацией можно утверждать, что среднее значение и дисперсия Коши не зависят.

$E(X)$ и не существуют $Var(X)$

Ссылка

Карлин, Брэдли П. и Томас А. Луи. 1996. Байесовские и эмпирические байесовские методы анализа данных, 2-е изд. Чепмен и Холл / CRC, Нью-Йорк

Дэвид Лебауэр
источник

В любом семействе масштабов местоположения среднее значение и дисперсия будут функционально независимы таким образом!

whuber

Дэвид, двойная экспонента - отличный пример. Благодарность! Я не думал об этом. Т-распределение также является хорошим примером, но разве E (X) = 0 и Var (X) = v / (v-2)? Или Carlin et al. (1996) определяют обобщенную версию t-распределения, которая сдвинута в среднем и масштабируется сигмой ^ 2?

Вольфганг

Вы правы, t-распределение часто характеризуется средним значением = 0 и дисперсией = 1, но общий pdf для t, предоставленный Карлином и Луи, явно включает как сигма, так и mu; Параметр nu учитывает разницу между нормалью и t.

Дэвид Лебауэр

На самом деле, ответ «нет». Независимость выборочного среднего значения и дисперсии характеризует нормальное распределение. Это было показано Юджином Лукачом в «Характеристике нормального распределения», Анналы математической статистики, Vol. 13, № 1 (март, 1942), с. 91-93.

Я этого не знал, но Феллер, «Введение в теорию вероятностей и ее приложения, том II» (1966, стр. 86), говорит, что Р. К. Гири это тоже доказал.

источник

@onetop Я думаю, это несчастный артефакт моего возраста. Не стоит преуменьшать, что книги Феллера произвели революцию в том, как была создана вероятность - во всем мире. Большая часть нашей современной нотации принадлежит ему. В течение многих десятилетий, его книги были на вероятностные книги для изучения. Может быть, они все еще должны быть. Кстати, я добавил название для тех, кто не слышал о его книгах.

У меня есть вопрос о другой забавной характеристике ... stats.stackexchange.com/questions/4364/…

Робин Джирард

Джей, спасибо за ссылку на статью Лукача, который хорошо показывает, что выборочные распределения среднего значения выборки и дисперсии независимы только для нормального распределения. Что касается второго центрального момента, есть некоторые распределения, где он не является функцией первого момента (Дэвид привел несколько хороших примеров).

Вольфганг

Geary, RC (1936), «Распределение коэффициента« Студента »для ненормальных образцов», журнал Королевского статистического общества, Suppl. 3, 178–184.

vqv