Почему лемма Неймана-Пирсона является леммой, а не теоремой?

10

Это больше вопрос истории, чем технический вопрос.

Почему лемма Неймана-Пирсона является леммой, а не теоремой?

ссылка на вики: https://en.wikipedia.org/wiki/Neyman%E2%80%93Pearson_lemma

NB : Вопрос не в том, что такое лемма и как леммы используются для доказательства теоремы, а в истории леммы Неймана-Пирсона. Использовалось ли это для доказательства теоремы, а потом оказалось более полезным? Есть ли какие-либо доказательства этого, помимо подозрения, что это так?

Tauto
источник
6
Терминология . Лемма - это «теорема помощи», предложение с малой применимостью, за исключением того, что оно является частью доказательства большей теоремы. В некоторых случаях, когда относительная важность различных теорем становится более ясной, то, что когда-то считалось леммой, теперь считается теоремой, хотя слово «лемма» остается в названии.
Карл
2
@Carl Конечно, но почему лемма Неймана-Пирсона является леммой, а не теоремой? была ли теорема? и есть ли доказательства этого? Как я уже сказал, это вопрос истории, а не технический.
Тауто
2
Ну, лемма NP использовалась для доказательства теоремы Карлина-Рубина, и что критерий оценки Рао является локально наиболее мощным; Эти результаты, возможно, применяются более широко, чем сама лемма NP (точка ноль против альтернативы точки).
Scortchi - Восстановить Монику

Ответы:

-2

NB: Это исторически первый ответ на вопрос ОП. В статистике лемма Неймана – Пирсона была введена Ежи Нейманом и Эгоном Пирсоном в статье в 1933 году . Кроме того, он используется на практике статистиками в качестве теоремы , а не леммы, и его называют леммой в значительной степени из-за статьи 1936 года. ИМХО, историческая трактовка не отвечает на вопрос «почему», и этот пост пытается это сделать.

То, что лемма настолько контрастирует с теоремой или следствием, рассматривается в другом месте и здесь . Точнее, в отношении определения: лемма, первое значение : вспомогательная или промежуточная теорема в аргументе или доказательстве. Я согласен с оксфордским словарем, но изменил бы порядок слов и обратил внимание на точный язык: промежуточная или вспомогательная теорема. Некоторые авторы ошибочно полагают, что лемма должна быть посредником в доказательстве, и это имеет место для многих неназванных лемм. Однако обычно, по крайней мере для именованных лемм, результат леммы является импликацией, вытекающей из уже доказанной теоремы, такой, что лемма является дополнительной, т. Е. Вспомогательной теоремой. Из энциклопедии Нового Света Различие между теоремами и леммами довольно произвольно, поскольку основным результатом одного математика является второстепенное утверждение другого. Например, лемма Гаусса и лемма Цорна достаточно интересны, так что некоторые авторы представляют номинальную лемму, не используя ее в доказательстве какой-либо теоремы. Другой примером этого является Эванс лемма, которая следует не из доказательства простой теоремы дифференциальной геометрии , которая ... показывает , что первое уравнение Картанна структура является равенством два тетрады постулатов ... Тетрада постулатом [ Sic , сам по себе] является Источник леммы Эванса о дифференциальной геометрии. Википедия упоминает эволюцию лемм во времени:В некоторых случаях, когда относительная важность различных теорем становится более ясной, то, что когда-то считалось леммой, теперь считается теоремой, хотя слово «лемма» остается в названии.

Тем не менее, обратите внимание, что независимо от того, являются они леммами или нет, также являются теоремами. То есть теорема, которая является леммой, иногда может быть ответом на вопрос: «Что подразумевает (приведенная выше) теорема?» Иногда леммы являются ступенькой, используемой для установления теоремы.

Из чтения статьи 1933 года становится ясно: IX. К проблеме наиболее эффективных тестов статистических гипотез. Ежи Нейман, Эгон Шарп Пирсон и Карл Пирсон утверждают, что исследуемая теорема является теоремой Байеса . Некоторым читателям этого поста трудно связать теорему Байеса с газетой 1933 года, несмотря на довольно явное введение в этом отношении. Обратите внимание, что статья 1933 года усеяна диаграммами Венна, диаграммы Венна иллюстрируют условную вероятность , которая является теоремой Байеса. Некоторые люди называют это правилом Байеса, поскольку преувеличение называть это правило «теоремой». Например, если бы мы называли «сложение» теоремой, а не правилом, мы бы запутали, а не объяснили.

Таким образом, лемма Неймана-Пирсона является теоремой, касающейся наиболее эффективного тестирования байесовских гипотез, но в настоящее время ее так не называют, потому что она не должна была начинаться с самого начала.

деревенщина
источник
1
Я немного сбит с толку относительно того, что именно ты здесь говоришь. Ясно, что лемма NP не используется для доказательства теоремы Байеса в этой статье или где-либо еще. Таким образом, вопрос "Почему" лемма "? остается. NP лемма будет использоваться в разделах III и IV настоящего документа при выводе UMP подобных тестов, и , возможно , справедливо было бы назвать лемму по этой причине.
Scortchi - Восстановить Монику
3
Ваше утверждение «Поэтому лемму Неймана-Пирсона можно назвать теоремой» является необоснованным и ничего не объясняет, почему мы называем лемму Неймана-Пирсона леммой. Кроме того, что это имеет отношение к теореме Байеса, совершенно неясно и кажется ложным. Ваш ответ заслуживает отрицательных оценок за их расплывчатость и бессмысленность, но так как вам не нравятся эти отрицательные голоса, я просто скажу, что он заслуживает их, не давая никаких.
Секст Эмпирик
2
Лемма - это просто теорема (только помещенная в другой контекст как «помощь» в большем доказательстве). Это не вопрос, и на него было дано несколько ответов на сайте по математике. Мы знаем, что леммы могут начать жить самостоятельно (без их прежней теоремы, которую они помогли). Вопрос явно требует истории этого в связи с леммой Неймана Пирсона. Фрэнсис уже дал хороший ответ на этот вопрос, и нет необходимости в другом ответе. Я критиковал ваш ответ, потому что он сбивает с толку (с вещами о правиле Байеса), а не полезен или даже вреден.
Секст Эмпирик
4
У вас есть источник для этой интерпретации / использования слова «лемма»? В противном случае я считаю, что вы просто неправильно поняли, что означает «лемма». Чтобы заимствовать язык из связанного ответа с сайта-компаньона, я бы истолковал как текущую, так и предыдущие версии этого вопроса как «Что является более значимым результатом, для которого лемма Неймана-Пирсона была« вспомогательным »фактом».
Юхо Коккала
2
«Это преувеличение, потому что оно не должно быть« другим ».» Откуда это утверждение? Это (изначально не являясь частью доказательства «другой» теоремы) не совсем то, как математики используют термин лемма. Это очень похоже на использование в логике A -> B -> C, и возникает вопрос, что такое C в случае леммы B, являющейся леммой Неймана Пирсона (это определенно не правило / теорема Байеса).
Секст Эмпирик
9

Классическая версия появится в 1933 году, но самый ранний случай его существа называют «Лемма», возможно , в Нейман и Пирсона 1936 статьи Взносы в теории проверки статистических гипотез (стр. 1-37 из Статистическое исследование Мемуары Том I) , Лемма и утверждение, которое она использовалась для доказательства, были сформулированы следующим образом: введите описание изображения здесь

Сегодня это известно как обобщенная фундаментальная лемма Неймана-Пирсона (см. Главу 3.6 « Проверка статистических гипотез Лемана и Романо» ) и сводится к вашему повседневному Нейману-Пирсону, когда . Сама лемма была затем изучена несколькими громкими именами той эпохи (например, П. Л. Сюй, Данциг, Вальд, Чернофф, Шеффе), и название «лемма Неймана и Пирсона», таким образом, застряло.m=1

Вот список соответствующих статей / книг, если кто-то интересуется историей леммы Неймана-Пирсона:

  • История Неймана-Пирсона: 1926-34 , Е.С. Пирсон, в научных статьях в статистике: Festschrift для Дж. Неймана .
  • Введение в Неймана и Пирсона (1933). К вопросу о наиболее эффективных проверках статистических гипотез , Е.Л. Леманн, в прорывах в статистике: основы и базовая теория .
  • Нейман-Из Жизни , К. Рейд.
Фрэнсис
источник
Да, но лемма Неймана-Пирсона соответствовала определению леммы в 1933 году, т. Е. В то время это была лемма, поэтому ее впоследствии называли леммой.
Карл
1
@Carl, в чем твое мнение, используя «но». Что-то не так с этим ответом?
Секст Эмпирик
1
@MartijnWeterings: Вы можете искать термин в Google Scholar и ограничивать диапазон дат. Самое раннее использование от PL Hsu, кажется. Лекционная записка Вальда 1940 года также цитирует его.
Фрэнсис
2
@Carl, ты пропустил следующую часть? « Примечание : вопрос не в том, что такое лемма и как леммы используются для доказательства теоремы, а в истории леммы Неймана-Пирсона». Это об истории . Вопрос задают для контекста, как эта теорема стала называться леммой. Не поэтому теорему (или, точнее, эту теорему) можно назвать леммой.
Секст Эмпирик
2
@Carl, тогда этот ответ хорошо объясняет, как он выполнял эту роль, и включает в себя историю того, как люди рассматривали эту роль.
Sextus