Сходится ли нормальное распределение к равномерному распределению, когда стандартное отклонение растет до бесконечности?

18

Сходится ли нормальное распределение к определенному, если стандартное отклонение растет без границ? мне кажется, что pdf начинает выглядеть как равномерное распределение с границами, заданными . Это правда?[2σ,2σ]

Рамон Мартинес
источник
2
Нет, но чтобы правильно ответить на ваш вопрос, нам нужно знать, как вы определяете конвергенцию. Имейте в виду, что формальное обсуждение возможно только тогда, когда правая часть не меняется. Таким образом, вы не можете установить сходимость к Unifrom [ σ,σ ], потому что ваша σ меняется. Посмотрите на формулировку CLT, чтобы понять, что я имею в виду
Аксакал
только если вы обернули или урезали его до чего-то o(σ) .
Enthdegree

Ответы:

4

Другие ответы, уже здесь, делают большую работу по объяснению, почему гауссовые RV не сходятся ни к чему, когда дисперсия увеличивается без границ, но я хочу указать на, казалось бы, однородное свойство, которое удовлетворяет такая группа гауссиан , что, я думаю, могло бы достаточно, чтобы кто-то догадался, что они становятся единообразными, но оказывается, что он недостаточно силен, чтобы сделать вывод.

Рассмотрим набор случайных величин {X1,X2,} где XnN(0,n2) . Пусть A=[a1,a2] - фиксированный интервал конечной длины, и для некоторого cR определим B=A+c , т. Е. B есть A но просто смещено на c . Для интервала I=[i1,i2] определите len(I)=i2i1 как длину I и обратите внимание, что len(A)=len(B) .

Сейчас я докажу следующий результат:

Результат : |P(XnA)P(xnB)|0 при n .

Я называю это однородным, потому что он говорит, что распределение все чаще имеет два фиксированных интервала одинаковой длины с одинаковой вероятностью, независимо от того, насколько далеко они могут быть друг от друга. Это определенно очень однородная особенность, но, как мы увидим, это ничего не говорит о фактическом распределении сходящемся к однородному.XnXn

Pf: обратите внимание, что где поэтому Я могу использовать (очень грубую) оценку, что чтобы получить Xn=nX1X1N(0,1)

P(XnA)=P(a1nX1a2)=P(a1nX1a2n)
=12πa1/na2/nex2/2dx.
ex2/21
12πa1/na2/nex2/2dx12πa1/na2/n1dx
=len(A)n2π.

Я могу сделать то же самое для чтобы получить B

P(XnB)len(B)n2π.

Собрав их вместе, я имею при (здесь я использую неравенство треугольника).

|P(XnA)P(XnB)|2len(A)nπ0
n

Чем это отличается от сходящегося в равномерном распределении? Я только что доказал, что вероятности, заданные для любых двух фиксированных интервалов одной и той же конечной длины, становятся все ближе и ближе, и это интуитивно понятно, так как плотности «сглаживаются» с точки зрения иXnAB

Но для того, чтобы сходился в равномерном распределении, мне нужно, чтобы направлялся к пропорции для любого интервала , и это совсем другое дело, потому что это должно применяться к любому , а не только к одному фиксированному заранее (и, как уже упоминалось, это также невозможно даже для дистрибутива с неограниченной поддержкой).XnP(XnI)len(I)II

JLD
источник
Правильно, вы могли бы почти сказать, что они сходятся в распределении, за исключением того, что предел того, к чему они сходятся, является неправильным распределением. Один тип сходимости, который был бы хорошо определен, - я думаю, вы могли бы показать, что метрика Вассерштейна будет приближаться к нулю как ? σ
Клифф А.Б.
36

Распространенная ошибка в вероятности - думать, что распределение однородно, потому что оно выглядит визуально плоским, когда все его значения близки к нулю. Это связано с тем, что мы склонны видеть, что и, тем не менее, , то есть небольшой интервал вокруг в 1000 раз больше вероятно, чем небольшой интервал вокруг .f(x)=0.0010.000001=f(y)f(x)/f(y)=0.001/0.000001=1000xy

Он определенно не является равномерным по всей реальной линии в пределе, так как нет равномерного распределения по . На даже не приблизительно одинаков .(,)[2σ,2σ]

Последнее видно из правила 68-95-99.7, с которым вы, похоже, знакомы. Если бы он был приблизительно одинаковым для , то вероятность нахождения в и должна быть одинаковой, так как два интервала одинаковы длина. Но это не тот случай: , но .[2σ,2σ][0,σ][σ,2σ]P([0,σ])0.68/2=0.34P([σ,2σ])(0.950.68)/2=0.135

При просмотре по всей реальной линии эта последовательность нормальных распределений не сходится ни к какому распределению вероятности. Есть несколько способов увидеть это. Например, cdf нормали со стандартным отклонением имеет вид и для всех , что не является cdf для любой случайной величины. На самом деле это вообще не cdf.σFσ(x)=(1/2)(1+erf(x/2σ)limσFσ(x)=1/2x

Причиной этой не сходимости сводится к «потере массы» является предел. Ограничивающая функция нормального распределения фактически «потеряла» вероятность (т.е. она улетела в бесконечность). Это связано с концепцией строгости мер , которая дает необходимые условия для последовательности случайных переменных сходиться к другой случайной переменной.

Алекс Р.
источник
1
Неправильное «это» было «все его значения близки к нулю». «Это» в «Это распространенная ошибка» было правильным.
накопление
15

Ваше утверждение, что pdf начинает выглядеть как равномерное распределение с границами, заданными[2σ,2σ] неверно, если вы настроите для соответствия более широкому стандартному отклонению.σ

Рассмотрим эту диаграмму двух нормальных плотностей с центром в нуле. Красная кривая соответствует стандартному отклонению а синяя кривая - стандартному отклонению , и это действительно тот случай, когда синяя кривая почти плоская на110[2,2]

введите описание изображения здесь

но для синей кривой с мы должны смотреть на ее форму на . Изменение масштаба по осям и по коэффициентам дает следующий график, и вы получаете точно такую ​​же форму для плотности синего цвета на этом более позднем графике, что и плотность красного цвета на предыдущем графике σ=10[20,20]xy10

введите описание изображения здесь

Генри
источник
2

Ваш вопрос в корне ошибочный. Стандартное нормальное распределение масштабируется таким образом , что . Таким образом, для некоторого другого распределения Гаусса ( ) тогда кривая между границами имеет ту же форму, что и стандартное нормальное распределение. Единственная разница - коэффициент масштабирования. Так что если вы масштабируете гауссиану путем деления на , то вы получите стандартное нормальное распределение.σ=1μ=0,σ=σ[2σ,2σ]σ

Теперь, если у вас есть распределение Гаусса ( ), тогда yes as , область между становится все более плоской.μ=0,σ=σσ[2,2]

MaxW
источник