Пусть случайный вектор , проведенный из . Рассмотрим пример . Определите и . Пусть \ boldsymbol {\ mu}: = \ mathbb {E} _ {\ mathbf {x} \ sim P} [\ mathbf {x}] и C: = \ mathrm {cov} _ {\ mathbf {x} \ sim P} [\ mathbf {x}, \ mathbf {x}] .
По центральной предельной теореме предположим, что
где - ковариационная матрица полного ранга.
Вопрос : Как мне доказать (или опровергнуть), что
для некоторого и для некоторого такого, что ? Это выглядит просто. Но я не мог понять, как именно это показать. Это не домашнее задание.
Насколько я понимаю, дельта-метод позволил бы нам легко заключить
или же
Это немного отличается от того, что я хочу. Обратите внимание на ковариационные матрицы в двух терминах. Я чувствую, что скучаю по чему-то очень тривиальному здесь. В качестве альтернативы, если это упрощает ситуацию, мы также можем игнорировать то есть установить и предположить, что обратим. Спасибо.
Ответы:
Есть некоторые трудности при использовании метода Дельта. Удобнее вывести его вручную.
По закону большого числа, . Следовательно . Примените теорему Слуцкого, у нас есть По теореме о непрерывном отображении имеем Следовательно, По теореме Слуцкого, мы имеем Объединение двух приведенных выше равенств даетC^−→PC C^+γnI−→PC
Для простоты ниже мы предполагаем, что нормально распределены и . Это стандартный результат где - симметричная случайная матрица с диагональными элементами в виде и вне диагональных элементов как . Таким образом, матричным расширением Тейлора , у нас естьXi γn=o(n−1/2)
Таким образом,
источник