Асимптотическая нормальность квадратичной формы

11

Пусть случайный вектор , проведенный из . Рассмотрим пример . Определите и . Пусть \ boldsymbol {\ mu}: = \ mathbb {E} _ {\ mathbf {x} \ sim P} [\ mathbf {x}] и C: = \ mathrm {cov} _ {\ mathbf {x} \ sim P} [\ mathbf {x}, \ mathbf {x}] .xP{xi}i=1ni.i.d.Px¯n:=1ni=1nxiC^:=1ni=1n(xix¯n)(xix¯n)μ:=ExP[x]C:=covxP[x,x]

По центральной предельной теореме предположим, что

n(x¯nμ)dN(0,C),

где C - ковариационная матрица полного ранга.

Вопрос : Как мне доказать (или опровергнуть), что

n(x¯n(C^+γnI)1x¯nμC1μ)dN(0,v2),

для некоторого v>0 и для некоторого γn0 такого, что limnγn=0 ? Это выглядит просто. Но я не мог понять, как именно это показать. Это не домашнее задание.

Насколько я понимаю, дельта-метод позволил бы нам легко заключить

n(x¯nC1x¯nμC1μ)dN(0,v2),

или же

n(x¯n(C^+γnI)1x¯nμ(C^+γnI)1μ)dN(0,v2).

Это немного отличается от того, что я хочу. Обратите внимание на ковариационные матрицы в двух терминах. Я чувствую, что скучаю по чему-то очень тривиальному здесь. В качестве альтернативы, если это упрощает ситуацию, мы также можем игнорировать то есть установить и предположить, что обратим. Спасибо.γnγn=0C^

Wij
источник
2
Нам нужно кое-что знать о том, как переходит в 0. Это последовательность констант? Я думаю, что сначала вы должны показать который я считаю результатом Слуцкого. Тогда я бы написал как . имеет предельное распределение, которое можно найти методом . Наконец, вы можете попытаться показать, что вероятность 0. Хотя я не уверен, что это так ...γnx¯nTγnIx¯np0C^C+bias(C^)x¯nTCx¯nδx¯nTbias(C^)x¯n
AdamO
γn - это последовательность констант (не случайная). Последовательность может быть установлена ​​на все, что делает работу сходимости (если такая последовательность существует). Я думаю, что - правда. Я не понимал, зачем нам это нужно. Но позвольте мне подумать об этом, а остальное больше. :)x¯nIx¯np0
Wij
2
Я не упомянул: ваше сомнение напрямую применить -метод и назвать его выполненным вполне оправдано. Я думаю, что вы можете написать это внимательно. Полезными теоремами для таких доказательств являются теорема Слуцкого, теорема Манна-Вальда о непрерывном отображении и теорема Креймера-Уолда. δ
AdamO
Я согласен, что упомянутые вами результаты могут быть полезны. Я до сих пор не вижу, как, хотя. На самом деле я также начинаю думать, что асимптотическое распределение не может быть нормальным распределением.
Wij
Кажется, что это сложнее, чем кажется. В статье Arxiv здесь описывает то , что происходит в высоких измерениях. Я не могу найти аналог с фиксированной размерностью, но у них есть конечномерный аргумент в Разделе 3
Greenparker

Ответы:

1

Есть некоторые трудности при использовании метода Дельта. Удобнее вывести его вручную.

По закону большого числа, . Следовательно . Примените теорему Слуцкого, у нас есть По теореме о непрерывном отображении имеем Следовательно, По теореме Слуцкого, мы имеем Объединение двух приведенных выше равенств дает C^PCC^+γnIPC

n(C^+γnI)1/2(X¯μ)dN(0,C1).
n(X¯μ)T(C^+γnI)1(X¯μ)di=1pλi1(C)χ12.
n(X¯μ)T(C^+γnI)1(X¯μ)P0.
nμT(C^+γnI)1(X¯μ)dN(0,μTC2μ).
n(X¯T(C^+γnI)1X¯μT(C^+γnI)1μ)=n((X¯μ)T(C^+γnI)1(X¯μ)2μT(C^+γnI)1(X¯μ))=2nμT(C^+γnI)1(X¯μ)+oP(1)dN(0,4μTC2μ).
Оставшаяся задача - разобраться с К сожалению, этот термин доза НЕ сходится к . Поведение усложняется и зависит от третьего и четвертого моментов.
n(μT(C^+γnI)1μμT(C)1μ).
0

Для простоты ниже мы предполагаем, что нормально распределены и . Это стандартный результат где - симметричная случайная матрица с диагональными элементами в виде и вне диагональных элементов как . Таким образом, матричным расширением Тейлора , у нас есть Xiγn=o(n1/2)

n(C^C)dC1/2WC1/2,
WN(0,2)N(0,1)
n(C^+γnIC)dC1/2WC1/2,
(I+A)1IA+A2
n((C^+γnI)1C1)=nC1/2((C1/2(C^+γnI)C1/2)1I)C1/2=nC1(C^+γnIC)C1+OP(n1/2)dC1/2WC1/2.
Таким образом,
n(μT(C^+γnI)1μμT(C)1μ)dμTC1/2WC1/2μN(0,(μTC1μ)2).

Таким образом,

n(X¯T(C^+γnI)1X¯μTC1μ)dN(0,4μTC2μ+(μTC1μ)2).
kfeng123
источник
1
Спасибо за Ваш ответ. Именно этот термин не сходится к 0, что делает все это сложным. К сожалению, я не могу предположить, что нормально распределен. Но я все еще ценю ответ. Если бы вы могли прокомментировать, как это зависит от третьего и четвертого моментов (возможно, со ссылками), это было бы полезно. Также я не могу объяснить в данный момент. Но я чувствую, что должен распадаться медленнее, чем . Я должен подумать о причине более тщательно. Xigammano(n1/2)
Wij
Я забыл добавить, что в моем случае можно предположить жить в компактном наборе (при необходимости). Это может помочь с текущими условиями. Xi
Wij