Условные вероятности - уникальны ли они для байесовства?

Интересно, являются ли условные вероятности уникальными для байесовского подхода, или они являются более общей концепцией, которая разделяется между несколькими школами мысли среди статистиков / вероятностных людей.

Я как бы полагаю, что это так, потому что я предполагаю, что никто не может отчасти логично, так что я думаю, что частые люди, по крайней мере, теоретически согласятся, предостерегая против байесовского вывод больше из практических соображений, а не из-за условных вероятностей.$p(A,B) = p(A|B)p(B)$

Чтобы накапливать другие и совершенно адекватные ответы, примеров моделей условной вероятности предостаточно в линейных и обобщенных линейных моделях, поскольку определение таких моделей зависит от регрессоров или ковариат:

$$Y|X \sim f(y;g(X^\text{T}\beta),\sigma)$$

И понятие условных распределений вероятностей определено в теории мер без ссылки на статистику и, тем более, на «байесовство». Например, Рени построил теорию вероятностей из условных версий. Отметим также, что в теории формальной меры обусловливание относится к field а не к событию. Условное математическое ожидание является то измеримая функция такая , что для всех измеримых функций . (Как видно из концепции мартингалов$\sigma$$\mathfrak{S}$ $\mathbb{E}[X|\mathfrak{S}]$$\mathfrak{S}$

$$\mathbb{E}^{\mathfrak{S}}\{[X-\mathbb{E}[X|\mathfrak{S}]Z\}=0$$ $\mathfrak{S}$$Z$.)

Как и во всей теории вероятностей , условная вероятность не имеет ничего общего с байесовской статистикой по сравнению с статистикой. Даже теорема Байеса не является «байесовской», но является общей теоремой о вероятности, например, ее можно использовать для коррекции вероятностей для базовой скорости без каких-либо априоров или субъективной байесовской интерпретации для вероятности .

Если вы спросите «какова вероятность получить работу инженера базы данных, учитывая, что вы женщина?», Или «какова вероятность того, что у вас ВИЧ, если тест Вестерн-блоттинга был положительным?», Тогда вы спросите об условном вероятности. Модели логистической регрессии условной вероятности и др.

См. Также Есть ли * математическая * основа для дебатов Байеса против частых? и байесовский против частых интерпретаций вероятности

Частые методы также используют условные вероятности. Значение p является условной вероятностью. Единственная проблема заключается в том, что это не очень полезная или интуитивная условная вероятность. Если мы вычисляем коэффициент корреляции, и наша машина выплевывает «p = .03», то, что она на самом деле говорит:

$p(D^*|H_0) = .03$

Где относится к наблюдаемым данным или более экстремальным данным (т. Е. К данным, которые дают наблюдаемый результат или результат, более сильный в том же направлении), а является нулевой гипотезой (и всеми допущениями, которые согласуются с ней).H $D^*$$H_0$

Условие на нулевую гипотезу, вероятность, что мы наблюдаем наши данные или более экстремальные данные, составляет .03. Это условная вероятность, которая полностью отсутствует в теореме Байеса. Это просто, на мой взгляд, обычно не так полезно (если только вы действительно не пытаетесь получить такую ​​вероятность по той или иной причине).

Я не думаю, что было бы справедливо сказать, что условные вероятности уникальны для байесовства.

(Измерьте экспертов по теории, пожалуйста, не стесняйтесь поправлять меня.)

Один из способов просмотра условной вероятности - особенно когда у вас одинаково вероятные результаты - основывает вычисление вероятности на подмножестве , где - это пространство выборки.$\Omega^{\prime} \subset \Omega$$\Omega$

Например, рассмотрим некоторые фиктивные данные, собранные (примечание: у нас нет «предыдущей» информации) в опросе:

ΩP:A→[0,1]Aσ

$$\begin{array}{|l|c|c|} \hline & \text{Male} & \text{Female} \\ \hline \text{Owns a TV} & 75 & 72 \\ \text{Does not own a TV} & 25 & 28 \\ \hline \end{array}$$ Давайте предположим, что вероятность выбора любого человека, опрошенного выше, одинаково вероятна. Рассмотрим примерное пространство всех опрошенных людей и пусть , где - непустая -алгебра подмножеств .$\Omega$$\mathbb{P} : \mathcal{A} \to [0, 1]$$\mathcal{A}$$\sigma$$\Omega$

По определению одинаково вероятного события, для любого события , гдеобозначает множество элементов$A \in \mathcal{A}$

$$\mathbb{P}(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}$$ $|\cdot|$

Если бы мы интересовались, скажем, вероятностью владения телевизором, учитывая, что вы - женщина, и пусть будет событием, когда вы будете женщиной, а - случаем владения телевизором, мы вычислим вероятность как , и мы лечим в нашем новом выборочном пространстве . Но обратите внимание, что мы можем написать Это в точности определение условной вероятности и не использует теорему Байеса. Все, что мы делаем, это ограничиваем наше пространство для образцов.$A$$B$

$$\dfrac{|A \cap B|}{|A|}$$ $A$$\Omega^{\prime} = A$ $$\dfrac{|A \cap B|}{|A|} = \dfrac{|A \cap B|/|\Omega|}{|A|/|\Omega|} = \dfrac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A)}$$

Я немного опоздал на эту конкретную вечеринку, но я решил добавить более философский ответ к другим отличным ответам здесь, на случай, если это будет полезно для будущих искателей.

$f_N (A \land E)$$A\land E$$N$$f_N (E)$$E$$N$

$$p(A\land E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)}{N}$$ $$p (E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (E)}{ N}$$ $p(A | E )$быть долей времени, когда истинно, что также верно, в бесконечном пределе: Предположим, что не равно нулю, $E$$A$ $$p (A | E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)}{f_N (E)}$$ $p(E)$ $$p (A | E) = \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)/ N}{f_N (E)/N} = \frac{\lim_{N\to \infty} f_N (A\land E) / N}{\lim_{N\to \infty} f_N (E)/ N } = \frac{p(A\land E)}{p(E)}.$$