Являются ли противоречивые оценки когда-либо предпочтительными?

Согласованность, безусловно, является естественной и важной оценкой свойств, но существуют ли ситуации, когда может быть лучше использовать противоречивую оценку, а не последовательную?

Более конкретно, есть ли примеры противоречивой оценки, которая превосходит разумную непротиворечивую оценку для всех конечных (относительно некоторой подходящей функции потерь)?$n$

Этот ответ описывает реальную проблему, когда в естественной согласованной оценке преобладает (превосходящая по всем возможным значениям параметров для всех размеров выборки) противоречивая оценка. Это мотивируется идеей, что согласованность лучше всего подходит для квадратичных потерь, поэтому использование потерь, сильно отклоняющихся от этого (таких как асимметричные потери), должно сделать согласованность практически бесполезной при оценке эффективности оценщиков.

Предположим, ваш клиент желает оценить среднее значение переменной (предполагается, что она имеет симметричное распределение) из выборки iid , но они не склонны к (а) его недооценке или (б) чрезмерно завышению Это.$(x_1, \ldots, x_n)$

Чтобы увидеть, как это может сработать, давайте примем простую функцию потерь, понимая, что на практике потери могут отличаться от этой количественно (но не качественно). Выберите единицы измерения, чтобы был наибольшим допустимым завышением, и установите потерю оценки t, когда истинное среднее значение равно μ, равному 0, когда μ ≤ t ≤ $1$$t$$\mu$$0$ и равному 1 в противном случае.$\mu \le t\le \mu+1$$1$

Расчеты особенно просты для нормального семейства распределений со средним и дисперсией σ 2 > 0 , тогда для выборочного среднего ˉ $\mu$$\sigma^2 \gt 0$имеет нормальное(μ,σ2/n)распределение. Среднее значение выборки является последовательной оценкойμ, как это хорошо известно (и очевидно). ЗаписьФдля стандартного нормального КОР, ожидаемая потеря выборочного среднего равна1/$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_i x_i$$(\mu, \sigma^2/n)$$\mu$$\Phi$:1/$1/2 + \Phi(-\sqrt{n}/\sigma)$$1/2$ происходит от 50% вероятности того, что выборочное среднее будет недооценить истинное среднее и возникает из-за вероятности переоценки истинного среднего значения более чем на1.$\Phi(-\sqrt{n}/\sigma)$$1$

Ожидаемая потеря равна синей области под этим стандартным нормальным PDF. Красная область показывает ожидаемую потерю альтернативной оценки ниже. Они отличаются, заменяя сплошную синюю область между - $\bar{x}$и0по меньшей сплошной красной области между$-\sqrt{n}/(2\sigma)$$0$и$\sqrt{n}/(2\sigma)$. Эта разница растет сростомn.$\sqrt{n}/\sigma$$n$

$\bar{x}+1/2$$2\Phi(-\sqrt{n}/(2\sigma))$$1/2$$0$$n$$n$$\mu+1/2 \ne \mu$

$\bar{x}$$\bar{x}+1/2$$n$ .