Я часто вижу термин белый шум, возникающий при чтении различных статистических моделей. Однако я должен признать, что я не совсем уверен, что это значит. Обычно его сокращают до . Означает ли это, что он обычно распространяется или может следовать за любым распределением? $WN(0,σ^2)$

normal-distribution white-noise user13514
источник

en.wikipedia.org/wiki/White_noise

whuber

Это зависит от дисциплины. При обработке сигнала белый шум не обязательно должен быть нормальным. Однако при анализе временных рядов, «процесс белого шума» (часто называют просто белый шум) является нормально распределенной.

JDL

@JDL это потому, что при обработке сигнала они предполагают, что любой шум является гауссовским?

Аксакал

@JDL, ты уверен? Не могли бы вы дать ссылки по крайней мере из двух или трех основных учебников по временным рядам (например, «Анализ временных рядов» Гамильтона и еще один или два)?

Ричард Харди

TL; DR

Ответ НЕТ, он не должен быть нормальным; ДА, это могут быть другие дистрибутивы.

Цвета шума

Давайте поговорим о цветах шума.

Шум, который издает младенец во время воздушного путешествия, не белый. У него есть цвет.
Шум, который издает двигатель самолета, тоже не белый, но он не такой цветной, как у ребенка. Это белее.
Шум, который производит океан или лес, почти белый.

Если вы используете наушники с шумоподавлением, вы знаете, что # 1 невозможно отменить. Он легко пройдет через любой головной телефон. № 2 будет отменен очень хорошо.

Что касается # 3, почему вы бы отменили это?

Происхождение термина «цвет»

В чем разница между этими тремя шумами? Это происходит из спектрального анализа . Как вы знаете со школьной скамьи, вы можете отправить белый свет через призму, и он разделит свет на все разные цвета. Это то, что мы называем белым: все цвета примерно в одинаковой пропорции. Цвет не доминирует.

изображение из https://www.haikudeck.com/waves-and-light-vocabulary-uncategorized-presentation-w5bmS88NC9

Цвет - это свет определенной частоты, или вы можете сказать, электромагнитные волны определенной длины волны, как показано ниже. Красный цвет имеет более низкую частоту по сравнению с синим, эквивалентно, что красный цвет имеет более длинную длину волны, почти 800 нм, по сравнению с синей длиной волны 450 нм.

изображение отсюда: https://hubpages.com/education/Teachers-Guide-for-Radiation-beyond-Visible-Spectrum

Спектральный анализ

Если вы берете шум, будь то акустический, радио или другой, и отправляете его через инструмент спектрального анализа, такой как FFT, вы получаете его спектральное разложение. Вы увидите, сколько из каждой частоты в шуме, как показано на следующей картинке из Википедии. Понятно, что это не белый шум: он имеет четкие пики при 50 Гц, 40 Гц и т. Д.

Если торчит узкая полоса частот, то она называется цветной, а не белой . Таким образом, белый шум похож на белый свет, он имеет широкий диапазон частот примерно в той же пропорции, как показано на следующем рисунке с этого сайта . Верхняя диаграмма показывает запись амплитуды, а нижняя показывает спектральное разложение. Частота не торчит. Так что шум белый.

Идеальный синус

Теперь, почему последовательность независимых одинаково распределенных случайных чисел (iid) генерирует белый шум? Давайте подумаем о том, что делает сигнал цветным. Это волны определенной частоты, торчащие из других. Они доминируют в спектре. Рассмотрим идеальную знаковую волну: . Давайте посмотрим, какова ковариация между любыми двумя точками секунды друг от друга: $\sin(2\pi t)$ $\phi=1/2$

E [\sin (2 π t) \times \sin (2 π (t + 1 / 2)] = - E [\sin^{2} (2 π t)] = - \frac{1}{2}

$E[\sin(2\pi t) \times \sin(2\pi (t+1/2)]=-E[\sin^2 (2\pi t)]=-\frac 1 2$

Итак, при наличии синусоидальной волны мы получим автокорреляцию во временных рядах: все наблюдения за полсекунды будут совершенно отрицательно коррелированы! Теперь, говоря, что наши данные являются iid, подразумевает, что нет никакой автокорреляции вообще. Это означает, что в сигнале нет волн. Спектр шума плоский.

Несовершенный пример

Вот пример, который я создал на своем компьютере. Сначала я записал свой камертон , затем записал шум от поклонников компьютера. Затем я запустил следующий код MATLAB для анализа спектров:

[y,Fs] = audioread(filew);

data = y(1000:5000,1);
plot(data)
figure
periodogram(data,[],[],Fs);
[pxx,f] = periodogram(data,[],[],Fs);
 [pm,i]=max(pxx);
 f(i)

Вот сигнал и спектр камертона. Как и ожидалось, он имеет пик около 440 Гц. Камертон должен генерировать почти идеальный синусоидальный сигнал, как в моем теоретическом примере ранее.

Затем я сделал то же самое с шумом. Как и ожидалось, частота не торчит. Очевидно, это не белый шум, но он довольно близко подходит к нему. Я думаю, что должна быть очень высокая частота, это немного беспокоит меня. Мне нужно поменять вентилятор в ближайшее время. Однако я не вижу этого в спектре. Может быть, потому что мой микрофон за пределами дерьма, или частота дискретизации недостаточно высока.

Распределение не имеет значения

Важной частью является то, что в случайной последовательности числа не являются автокоррелированными (или даже сильнее, независимыми). Точное распределение не важно. Это может быть гауссов или гамма, но до тех пор, пока числа не будут коррелировать в последовательности, шум будет белым.

Аксакал
источник

Хотя вы на самом деле не ответили на вопрос, ваше описание сделано так хорошо, что я все равно не мог не поддержать сообщение :-).

whuber

Шумовые цвета чрезвычайно интересны. Мой любимый - розовый (1 / f), который приблизительно соответствует «приятным» природным явлениям, таким как музыка,

HEITZ

Да, у Pink есть приятная музыка;)

Mottie

«Если вы используете наушники с шумоподавлением, вы знаете, что [плач ребенка] невозможно отменить. Он с легкостью пробьет любой наушник». Я думаю, что это свойство человеческого восприятия, а не внутреннее свойство звука. Плач ребенка - это самый отвлекающий шум по понятным причинам. theguardian.com/science/2012/oct/17/ciring-babies-hard-ignore

DrMcCleod

Хм, а вы уверены, что шум океанов и лесов белый? Я бы предположил, что это розовый или красный.

труба

Белый шум в статистике

Ответы: