Какова важность функции в статистике?

В моем классе исчисления мы столкнулись с функцией или «кривой колокола», и мне сказали, что она часто применяется в статистике.$e^{-x^2}$

Из любопытства хочу спросить: действительно ли функция действительно важна в статистике? Если да, то что же такое что делает его полезным, и каковы некоторые из его применений? е - х $e^{-x^2}$$e^{-x^2}$

Я не мог найти много информации о функции в интернете, но после некоторого исследования я обнаружил связь между кривыми колокола в целом и тем, что называется нормальным распределением . Wikipedia страница связывает эти типы функций для применения статистики, с подсветкой со мной, что гласит:

«Нормальное распределение считается наиболее заметным распределением вероятностей в статистике. Для этого есть несколько причин: 1) Во-первых, нормальное распределение вытекает из центральной предельной теоремы, которая гласит, что в мягких условиях получается сумма большого числа случайных величин. из того же распределения распространяется примерно нормально, независимо от формы исходного распределения ".

Итак, если я соберу большой объем данных из какого-либо опроса или тому подобного, они могут быть равномерно распределены между такими функциями, как ? Функция является симметричной, так же как и ее симметрия, то есть ее полезность для нормального распределения, что делает ее такой полезной в статистике? Я просто размышляю.$e^{-x^2}$

В общем, что делает полезным в статистике? Если нормальное распределение является единственной областью, то что делает уникальным или особенно полезным среди других функций гауссова типа в нормальном распределении? е - х $e^{-x^2}$$e^{-x^2}$

Причиной того, что эта функция важна, действительно является нормальное распределение и его тесно связанный компаньон, центральная предельная теорема (у нас есть несколько хороших объяснений CLT в других вопросах здесь).

В статистике CLT обычно можно использовать для приблизительного расчета вероятностей, делая возможными такие заявления, как «мы на 95% уверены, что ...» (значение «на 95% уверенно» часто понимают неправильно, но это другой вопрос).

Функция является (масштабной версией) функции плотности нормального распределения. Если случайная величина может быть смоделирована с использованием нормального распределения, эта функция описывает, насколько вероятны различные возможные значения указанной величины. Результаты в регионах с высокой плотностью более вероятны, чем в регионах с низкой плотностью.$\exp\Big(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Big)$

σ μ μ σ x = μ x μ $\mu$ и - это параметры, которые определяют местоположение и масштаб функции плотности. Он симметричен относительно , поэтому изменение означает, что вы перемещаете функцию вправо или влево. определяет значение функции плотности в ее максимуме ( ) и как быстро она достигает 0, когда удаляется от . В этом смысле изменение меняет масштаб функции.$\sigma$$\mu$$\mu$$\sigma$$x=\mu$$x$$\mu$$\sigma$

Для конкретного выбора и плотность равна (пропорционально) . Это не особенно интересный выбор этих параметров, но он имеет преимущество в том, что дает функцию плотности, которая выглядит немного проще, чем все остальные.σ = 1 / $\mu=0$ е - х $\sigma=1/\sqrt{2}$$e^{-x^2}$

С другой стороны, мы можем перейти от к любой другой нормальной плотности с помощью замены переменных . Причина, по которой ваш учебник говорит, что , а не , очень Важной функцией является то, что проще написать. х = и - $e^{-x^2}$e-x2exp(-(x-μ)$x=\frac{u-\mu}{\sqrt{2}\sigma}$$e^{-x^2}$е-х$\exp\Big(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Big)$$e^{-x^2}$

Вы правы, нормальное распределение или гауссово - это масштабированное и смещенное , поэтому важность главным образом связана с тем фактом, что это по сути нормальное распределение.exp ( - x 2$\exp (-x^2)$$\exp (-x^2)$

А нормальное распределение важно главным образом потому, что («в условиях умеренной регулярности») сумма многих независимых и одинаково распределенных случайных величин приближается к норме, когда «многие» приближается к бесконечности.

Не все нормально распределено. Например, результаты вашего опроса могут не совпадать, по крайней мере, если ответы даже не в непрерывном масштабе, а что-то вроде целых чисел 1–5. Но среднее значение результатов обычно распределяется по повторным выборкам, поскольку среднее значение представляет собой просто масштабированную (нормализованную) сумму, а отдельные ответы не зависят друг от друга. Конечно, если предположить, что выборка достаточно велика, потому что, строго говоря, нормальность появляется только тогда, когда размер выборки становится бесконечным.

Как видно из примера, нормальное распределение может появиться в результате процесса оценки или моделирования, даже если данные обычно не распространяются. Поэтому нормальные распределения везде в статистике. В байесовской статистике многие апостериорные распределения параметров приблизительно нормальны или могут быть приняты за.

Одна версия CLT говорит нам, что распределение средних независимых одинаково распределенных случайных величин начнет выглядеть как нормальное распределение в форме колокола как количество переменных в сумме ($n$$0$$1/n$$\sqrt{n}$