Эффективная выборка порогового бета-распределения

Как мне выбрать образец из следующего дистрибутива?

$$x \sim B(\alpha, \beta),\space x > k$$

Если не слишком велико, то выборка отклонения может быть лучшим подходом, но я не уверен, как действовать, когда k велико. Возможно, есть какое-то асимптотическое приближение, которое можно применить?$k$$k$

Простейшим и наиболее общим способом, применимым к любому усеченному распределению (его можно также обобщить для усечения с обеих сторон), является использование выборки с обратным преобразованием . Если - совокупное распределение интереса, тогда установите p 0 = F ( k ) и возьмите$F$$p_0 = F(k)$

$$U \sim \mathcal{U}(p_0, 1) \\ X = F^{-1}(U)$$

где - выборка из F, усеченной влево в точке k . Функция квантиль F - 1 будет отображать вероятности в образцах из F . Поскольку мы берем значения U только из «области», которая соответствует значениям бета-распределения из неусеченной области, вы будете выбирать только эти значения.$X$$F$$k$$F^{-1}$$F$$U$

Этот метод показан на изображении ниже, где усеченная область отмечена серым прямоугольником, точки красного цвета взяты из распределения а затем преобразованы в B ( 2 , 8 ) выборок.$\mathcal{U}(p_0, 1)$$\mathcal{B}(2, 8)$

$k$

$\alpha$$\beta$$k_1<k_2$

$$f(x) = \frac{x^{(\alpha-1)}(1-x)^{(\beta-1)}}{\operatorname{B}(k2, \alpha, \beta) - \operatorname{B}(k_1, \alpha, \beta)}$$

$x_\mathrm{L}$$x_\mathrm{U}$$\alpha,\beta>1$

$$g(x) = c \cdot \lambda \mathrm{e}^{-\lambda (x-x_\mathrm{L})}$$

$\lambda$

$$-\lambda = \frac{a-1}{x} - \frac{b-1}{1-x}$$ $c$ $$c = \frac{f(x)}{\lambda\mathrm{e}^{-\lambda(x-x_\mathrm{L})}}$$

$$A = c \cdot (1 - \mathrm{e}^{-\lambda(x_\mathrm{U}-x_\mathrm{L})})$$ $x$$\lambda$$c$

$$\begin{align} Q(x)= & \frac{x^a (1-x)^b}{(a+b-2)x - a+1} \cdot\\ & \left[\exp\left(\frac{(b-1)(x-x_L)}{1-x} + \frac{x_L (a-1)}{x} - (a-1)\right) - \right.\\ & \left. \exp\left(\frac{(b-1)(x-x_U)}{1-x} + \frac{x_U(a-1)}{x} - (a-1)\right)\right]\\ \end{align}$$

$\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} x}$$x$$\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} x} = 0$

$k_1$$k_2$$U$$\frac{- \log(1-U)}{\lambda}$$\lambda$

Прелесть этого подхода в том, что вся тяжелая работа в настройке. Как только функция огибающей определена, нормализующая константа для усеченной бета-плотности рассчитана, остается только сгенерировать однородные случайные переменные и выполнить с ними несколько простых арифметических операций, журналов и степеней и сравнений. Усиление функции огибающей - с горизонтальными линиями или более экспоненциальными кривыми - может, конечно, уменьшить количество отклонений.