Среднее геометрическое является объективной оценкой среднего, непрерывное распределение которого?

Существует ли какое-либо непрерывное распределение, выражаемое в замкнутой форме, среднее значение которого таково, что среднее геометрическое для выборок является объективной оценкой для этого среднего значения?

Обновление: я только что понял, что мои образцы должны быть положительными (иначе геометрическое среднее может не существовать), поэтому, возможно, непрерывный - не то слово. Как насчет распределения, которое равно нулю для отрицательных значений случайной величины и непрерывно для положительных значений. Что-то вроде усеченного дистрибутива.

Я полагаю, что вы спрашиваете, что такое дистрибутив rv , если таковой имеется, так что, если у нас есть iid-образец размера n > 1 из этого дистрибутива, он будет содержать$X$$n>1$

$$E[GM] = E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E(X)$$

Из-за предположения IID , мы имеем

$$E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E\left(X_1^{1/n}\cdot ...\cdot X_n^{1/n}\right) = E\left (X_1^{1/n}\right)\cdot ...\cdot E\left(X_n^{1/n}\right) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n$$

и поэтому мы спрашиваем, можем ли мы иметь

$$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$$

Но из-за неравенства Дженсена и того факта, что степенная функция является строго выпуклой для степеней выше единицы, мы имеем это почти наверняка для невырожденной (непостоянной) случайной величины,

$$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n < E\left[\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$$

Так что такого распределения не существует.

Что касается упоминания логнормального распределения в комментарии, то справедливо то, что среднее геометрическое ( ) выборки из логнормального распределения является смещенной, но асимптотически непротиворечивой оценкой медианы . Это потому, что для логнормального распределения$GM$

$$E(X^s) = \exp\left\{s\mu + \frac {s^2\sigma^2}{2}\right \}$$

(где и σ - параметры базовой нормали, а не среднее значение и дисперсия логнормаль).$\mu$$\sigma$

В нашем случае поэтому мы получаем$s = 1/n$

$$E(GM) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \left[\exp\left\{(\mu/n) + \frac {\sigma^2}{2n^2}\right \}\right]^n = \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \}$$

(что говорит нам, что это предвзятая оценка медианы). Но

$$\lim \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \lim \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \} = e^{\mu}$$

который является медианой распределения. Можно также показать, что дисперсия среднего геометрического образца сходится к нулю, и этих двух условий достаточно, чтобы эта оценка была асимптотически последовательной - для медианы,

$$GM \to_p e^{\mu}$$

Это похоже на превосходный ответ Алекоса, поскольку среднее арифметическое, среднее геометрическое неравенство является следствием неравенства Дженсена.

• $A_n$$A_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$

• $G_n$$G_n = \left( \prod_{i=1} X_i \right) ^ \frac{1}{n}$

$A_n \geq G_n$$X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

$X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

$\operatorname{E}[G_n] = \operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$

В каком-то смысле это полностью вырожденный случай.

$P(X_i \neq X_j) > 0$$i\neq j$

$G_n \leq A_n$$\operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$$\operatorname{E}[G_n] < \operatorname{E}[X]$