Основано ли использование стандартного отклонения на предположении о нормальном распределении?

Мне интересно, было ли стандартное отклонение всегда построено в предположении нормального распределения. Другими словами, если выборка не распределяется нормально, следует ли считать использование стандартного отклонения ошибкой?

Нет. Использование стандартного отклонения не предполагает нормальности.

Дисперсия случайной величины определяется как . Пока существует дисперсия, стандартное отклонение также существует. Стандартное отклонение - это квадратный корень из дисперсии.$\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[(X - \operatorname{E}[X])^2]$

Вы можете использовать дисперсию или стандартное отклонение в любое время, когда они существуют. Дисперсия возникает в бесчисленных ситуациях.$\operatorname{Var}(X)$

Существуют специальные теоремы, леммы и т. Д. ... хотя для особого случая, когда следует нормальному распределению.$X$

Обычное использование стандартного отклонения, которое зависит от нормальности:

Если следует нормальному распределению, то существует приблизительно 95% вероятность того, что попадает в два стандартных отклонения от среднего.$X$$X$

Это утверждение верно, если следует нормальному распределению (и нескольким другим), но в общем случае оно неверно.$X$

Распространенное использование дисперсии, которая не зависит от нормальности:

Пусть - случайная величина со средним значением и дисперсией . Определим для , как независимых случайных величин, каждая из следующего за одинаковым распределением как .E [ X ] = μ Var ( X ) = σ 2 X i i = 1 , … , n $X$$\operatorname{E}[X] = \mu$$\operatorname{Var}(X) = \sigma^2$$X_i$$i=1, \ldots, n$$X$

Определите выборочное среднее на основе наблюдений как: ˉ X n = $n$

По центральной предельной теореме сходится к нормально распределенной случайной переменной со средним и дисперсией . (Точнее сходится по распределению к как .)μσ$\bar{X}_n$$\mu$$\frac{\sigma^2}{n}$$\sqrt{n}\left( \bar{X}_n - \mu \right)$$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$n \rightarrow \infty$

Практическим следствием является то, что выборочное среднее при больших можно рассматривать как нормально распределенной случайной переменной, дисперсия является функцией дисперсии . (Вспомните ) И этот результат не требует, чтобы был нормальным. (Для правильной работы требуется меньшее если в некотором смысле ближе к нормальному распределению.)$\bar{X}_n$$n$$\frac{\sigma^2}{n}$$X$$\operatorname{Var}(X)=\sigma^2$$X$$n$$X$

Центральная предельная теорема является вездесущим инструментом, который использует дисперсию и не нуждается в чтобы следовать нормальному распределению.$X$$X$

$S^2$$\hat{\sigma}^2_{ML}$$\mathrm{Var}[X_i]$