Предположим, что у нас есть многомерный нормальный случайный вектор
с и симметричная положительно определенная матрица полного ранга .µ ∈ R k k × k Σ = ( σ i j )
( журналИкс1, … , ЖурналИксК) ∼ N( μ , Σ ),
µ ∈ RКк × кΣ = ( σя ж)
Для логнормального нетрудно доказать, что
m i : = E [ X i ] = e μ i + σ i i / 2( Х1, … , XК)c i j : = Cov [ X i , X j ] = m i
мя: = E [ Xя] = еμя+ σя я/ 2,я = 1 , … , к,
ся ж: = Cov [ Xя, XJ] = мямJ( еσя ж- 1 ),i , j = 1 , … , k,
и отсюда следует, что .ся ж> - мямJ
Следовательно, мы можем задать обратный вопрос: задано и симметричной положительно определенной матрицы , удовлетворяющей , если мы позволим
у нас будет логнормальный вектор с заданными средними и ковариациями. k × k C = ( c i j ) c i j > - m i m j μ i = log m i - 1м = ( м1, ... , мК) ∈ RК+к × кС= ( ся ж)ся ж> - мямJσ i j = log ( c i j
μя= журналмя- 12журнал( ся ям2я+ 1 ),я = 1 , … , к,
σя ж= журнал( ся жмямJ+ 1 ),i , j = 1 , … , k,
Ограничение на и эквивалентно естественному условию .m E [ X i X j ] > 0СмE [ XяИксJ] > 0
На самом деле, у меня есть определенно пешеходное решение.
и так далее ... Однако, учитывая ограничения на параметры и нелинейный характер уравнений моментов, может случиться так, что некоторые наборы моментов соответствуют неприемлемому набору параметров.
обновление (04/04): деинст перефразировал этот вопрос как новый вопрос на математическом форуме.
источник
Хорошо, это ответ на комментарий Сианя. Это слишком долго и много TeX, чтобы быть удобным комментарием. Предостережение Лектор: Я практически уверен, что я допустил ошибку алгебры. Это не кажется таким гибким, как я сначала подумал.
Кажется, этой гибкости недостаточно для получения какой-либо ковариационной матрицы. Мне нужно попробовать другой термин в полиноме (но я подозреваю, что это также может не сработать (очевидно, мне нужно подумать об этом больше)).
источник