Каковы распределения в положительном k-мерном квадранте с параметризуемой ковариационной матрицей?

12

После zzk «s вопрос о его проблеме с негативным моделирования, я интересно , что параметризованные семейства распределений на положительной -мерном квадранте, , для которых матрица ковариаций может быть множество.R+kΣ

Как обсуждалось с zzk , начиная с распределения в и применения линейного преобразования не работает.R+kXΣ1/2(Xμ)+μ

Сиань
источник

Ответы:

6

Предположим, что у нас есть многомерный нормальный случайный вектор с и симметричная положительно определенная матрица полного ранга .µ R k k × k Σ = ( σ i j )

(logX1,,logXk)N(μ,Σ),
μRkk×kΣ=(σij)

Для логнормального нетрудно доказать, что m i : = E [ X i ] = e μ i + σ i i / 2(X1,,Xk)c i j : = Cov [ X i , X j ] = m i

mi:=E[Xi]=eμi+σii/2,i=1,,k,
cij:=Cov[Xi,Xj]=mimj(eσij1),i,j=1,,k,

и отсюда следует, что .cij>mimj

Следовательно, мы можем задать обратный вопрос: задано и симметричной положительно определенной матрицы , удовлетворяющей , если мы позволим у нас будет логнормальный вектор с заданными средними и ковариациями. k × k C = ( c i j ) c i j > - m i m j μ i = log m i - 1m=(m1,,mk)R+kk×kC=(cij)cij>mimjσ i j = log ( c i j

μi=logmi12log(ciimi2+1),i=1,,k,
σij=log(cijmimj+1),i,j=1,,k,

Ограничение на и эквивалентно естественному условию .m E [ X i X j ] > 0CmE[XiXj]>0

Zen
источник
Потрясающе, Пауло! Вы получили и рабочее решение, и соответствующее условие на ковариационной матрице, что также отвечает на этот вопрос . Логарифмические нормали оказываются удобнее гаммы, в конце концов.
Сиань
3

На самом деле, у меня есть определенно пешеходное решение.

  1. X1Ga(α11,β1)E[X1]var(X1)
  2. X2|X1Ga(α21X1+α22,β2)E[X2]var(X2)cov(X1,X2)
  3. X3|X1,X2Ga(α31X1+α32X2+α33,β3)E[X3]var(X3)cov(X1,X3)cov(X2,X3)

и так далее ... Однако, учитывая ограничения на параметры и нелинейный характер уравнений моментов, может случиться так, что некоторые наборы моментов соответствуют неприемлемому набору параметров.

k=2

β1=μ1/σ12,α11μ1β1=0

α22=μ2β2α21μ1,α21=(σ12+μ1μ2μ2)σ12+μ12μ1β2
(σ12+μ1μ2μ2)2(σ12+μ12μ1)2σ12+μ2β2=σ22.
μΣR+2

обновление (04/04): деинст перефразировал этот вопрос как новый вопрос на математическом форуме.

Сиань
источник
1
f(X|θ)=h(x)eθTXA(θ).
AhA
@deinst: (+1) У вас есть пример, где это экспоненциальное семейное представление может быть использовано прямо?
Сиань
2
(X,Y)FR+0<μ<ρP(X>2μ)>0
1
ΣR+k
2
XYFμP(X>2μ)>0YX
2

Хорошо, это ответ на комментарий Сианя. Это слишком долго и много TeX, чтобы быть удобным комментарием. Предостережение Лектор: Я практически уверен, что я допустил ошибку алгебры. Это не кажется таким гибким, как я сначала подумал.

R+3

f(x|θ)=h(x)eθTxA(θ)
x=(x,y,z)θ=(θ1,θ2,θ3)
h(x)=cx1e11x2e21x3e31+dx1f11x2f21x3f31
ei,fii
A(θ)=log(cΓ(e1)θ1e1Γ(e2)θ2e2Γ(e3)θ3e3+dΓ(f1)θ1f1Γ(f2)θ2f2Γ(f3)θ3f3).

c=cΓ(e1)Γ(e2)Γ(e2)θ1f1θ2f2θ3f3
d=dΓ(f1)Γ(f2)Γ(f2)θ1e1θ2e2θ3e3

AμX=e1c+f1dθ1(c+d)μY=e2c+f2dθ2(c+d)μZ=e3c+f3dθ3(c+d)A

σX2=(e1c+f1d)(c+d)+(e1f1)2cdθ12(c+d)2
Cov(X,Y)=(e1f1)(e2f2)cdθ1θ2(c+d)

Кажется, этой гибкости недостаточно для получения какой-либо ковариационной матрицы. Мне нужно попробовать другой термин в полиноме (но я подозреваю, что это также может не сработать (очевидно, мне нужно подумать об этом больше)).

deinst
источник
(θ1,θ2,θ3,c)
eifi
Я немного (?) Запутался: вы не обрабатывали показатели как параметры экспоненциального семейства. Но на самом деле вы можете изменить эти способности по своему усмотрению, чтобы получить правильные уравнения из 9 моментов.
Сиань
@ Сиань Вы правы, я не обрабатывал их как параметры экспоненциального семейства. Это сделало бы семейство более не естественным, и включение их в него просто запутало бы алгебру для вычисления уравнений момента (что было достаточно запутанно для начала).
deinst