Центральная предельная теорема (CLT) утверждает, что для независимы и одинаково распределены (iid) с и , сумма сходится к нормальному распределению при :
Предположим вместо этого, что образуют цепь Маркова с конечным состоянием со стационарным распределением с ожиданием 0 и ограниченной дисперсией. Есть ли простое расширение CLT для этого случая?
В статьях, которые я нашел на CLT для цепей Маркова, обычно рассматриваются гораздо более общие случаи. Я был бы очень благодарен за указатель на соответствующий общий результат и объяснение того, как он применяется.
markov-process
central-limit-theorem
tom4everitt
источник
источник
Ответы:
Ответа Алексея Р. почти достаточно, но я добавлю еще несколько деталей. В « О центральной предельной теореме Маркова - Галин Л. Джонс» , если вы посмотрите на теорему 9, там сказано:
Для конечных пространств состояний все неприводимые и апериодические цепи Маркова равномерно эргодичны. Доказательством этого является наличие значительного фона в теории цепей Маркова. Ссылка хорошо бы Page 32, в нижней части теоремы 18 здесь .
Следовательно, цепь Маркова CLT будет иметь место для любой функции , имеющей конечный второй момент. Форма, которую принимает CLT, описывается следующим образом.f
Пусть будет усредненной по времени оценкой , тогда, как указывает Алекс Р., при ,f¯n Eπ[f] n → ∞ е¯N= 1NΣя = 1Nе( Хя) →в видеЕπ[ ф] .
CLT цепи Маркова имеет видN--√( ф¯N- Eπ[ ф] ) →dN(0,σ2),
гдеσ2=Varπ(f(X1))Expected term+2∑k=1∞Covπ(f(X1),f(X1+k))Срок за счет цепи Маркова,
Вывод термина можно найти на странице 8 и странице 9 примечаний Чарльза Гейера MCMC здесь.σ2
источник
«Обычный» результат для цепей Маркова - эргодическая теорема Биркгофа, которая гласит, что
где - стационарное распределение, а f удовлетворяет E | f ( X 1 ) | < ∞ , и сходимость почти наверняка.π е Е| е( Х1) | < ∞
К сожалению, колебания этой конвергенции, как правило, довольно сложны. Это происходит главным образом из-за чрезвычайной сложности определения полных вариационных границ того, насколько быстро сходится к стационарному распределению π . Известны случаи, когда флуктуации аналогичны CLT, и вы можете найти некоторые условия на дрейфе, которые подтверждают аналогию: о центральной предельной теореме цепи Маркова - Галин Л. Джонс (см. Теорему 1).Икся π
источник