Вывод замены переменных функции плотности вероятности?

16

В книге распознавания образов и машинного обучения (формула 1.27) она дает

py(y)=px(x)|dxdy|=px(g(y))|g(y)|
гдеx=g(y),px(x) - это pdf, соответствующийpy(y) отношению к изменению переменной.

В книгах говорится, что это потому, что наблюдения, попадающие в диапазон (x,x+δx) , при малых значениях δx будут преобразованы в диапазон (y,y+δy) .

Как это происходит формально?


Обновление от Дилипа Сарватэ

Результат верен только в том случае, если g является строго монотонной возрастающей или убывающей функцией.


Некоторое незначительное изменение в ответе Л. В. Рао поэтому, если g

P(Yy)=P(g(X)y)={P(Xg1(y)),if g is monotonically increasingP(Xg1(y)),if g is monotonically decreasing
gмонотонно возрастает f Y ( y ) = f X ( g - 1 ( y ) ) d
FY(y)=FX(g1(y))
если монотонно убывающий FY(y)=1-FX(g-1(y))fY(y)=-fX(g-1(y))d
еY(Y)знак равноеИкс(грамм-1(Y))ddYграмм-1(Y)
FY(Y)знак равно1-FИкс(грамм-1(Y))
еY(Y)знак равно-еИкс(грамм-1(Y))ddYграмм-1(Y)
еY(Y)знак равноеИкс(грамм-1(Y))|ddYграмм-1(Y)|
dontloo
источник
1
граммграмм
Объяснение вашей книги напоминает то, что я предложил на stats.stackexchange.com/a/14490/919 . Я также разместил общий алгебраический метод на stats.stackexchange.com/a/101298/919 и геометрическое объяснение на stats.stackexchange.com/a/4223/919 .
whuber
1
@DilipSarwate спасибо за ваше объяснение, я думаю, что понимаю интуицию, но меня больше интересует, как ее можно получить, используя существующие правила и теоремы :)
dontloo

Ответы:

15

ИксpdfYзнак равнограмм(Икс)pdfY

п(YY)знак равноп(грамм(Икс)Y)знак равноп(Иксграмм-1(Y))орFY(Y)знак равноFИкс(грамм-1(Y)),по определению CDF
YYY
еY(Y)знак равноеИкс(грамм-1(Y))ddYграмм-1(Y)
Y
еY(Y)знак равно-еИкс(грамм-1(Y))ddYграмм-1(Y)
еY(Y)знак равноеИкс(грамм-1(Y))|ddYграмм-1(Y)|
LVRao
источник
Но поскольку интеграл по fx должен быть равен 1, а fy - это масштабированная версия fx, разве это не означает, что fy не является правильным pdf, если только якобиан в abs () не равен 1 или -1?
Крис
грамм-1