Что такое выборка случайной величины?

Случайная величина определяется как измеримой функции от одной - алгебры с основной мерой на другой - алгебры .σ ( Ω 1 , F 1 ) P σ ( Ω 2 , F 2$X$$\sigma$$(\Omega_1, \mathcal F_1)$$P$$\sigma$$(\Omega_2, \mathcal F_2)$

Как мы говорим о выборке этой случайной величины? Мы рассматриваем это как элемент из ? Или как та же измеримая функция, что и ?Ω 2$X^n$$\Omega_2$$X$

Где я могу прочитать больше об этом?

Пример:

В оценке Монте-Карло мы доказываем несмещенность оценки, рассматривая выборки как функции. Если ожидание случайной величины определяется как$(X^n)_{n = 1}^N$$X$

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$$

и предполагая, что являются функциями и , мы можем действовать следующим образом:X n = $X^n$$X^n = X$

$$\begin{align} \mathbb E\left[\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N f(X^n)\right] &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X^n)] \\ &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X)] \\ &= \mathbb E[f(X)]. \end{align}$$

Если бы был просто элементом из , мы не могли бы написать последний набор уравнений.Ω $X^n$$\Omega_2$

Образец является измеримой функцией от к . Реализация этого примера - это значение, взятое функцией в , .$(X^1,\ldots,X^N)$$\Omega_1$$\Omega_2^N$$\omega\in\Omega_1$$(x^1,\ldots,x^N)=(X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega))$

Когда заявляю

при условии, что являются функциями и$X^n$$X^n=X$

Все функции являются различными функциями, что означает, что изображения могут быть разными для данного . Когда образец является идентификатором (независимым и одинаково распределенным), функции отличаются двумя дополнительными свойствами.$X^n$$X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega)$$\omega$$X^n$

1. идентичное распределение, означающее, что для всех измеримых множеств в ;$\mathbb{P}(X^1\in A)=\cdots=\mathbb{P}(X^N\in A)$$A$$\mathcal{F}_2$
2. независимость, что означает, что для всех измеримых множеств in$\mathbb{P}(X^1\in A^1,\ldots,X^N\in A^N)=\mathbb{P}(X^1\in A^1)\cdots\mathbb{P}(X^N\in A^N)$$A^1,\ldots,A^N$$\mathcal{F}_2$

Ваше определение

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm d\omega_1 \end{align}$$

неверно: должно быть

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$$

Выборка может быть взята из популяции , а не из случайной величины. «Выборка из случайных величин» - это упрощенный способ сказать, что у нас есть выборка, взятая из совокупности, которую мы предполагаем, чтобы быть одинаково распределенными случайными величинами. Таким образом, такая выборка ведет себя как случайных величин. Это неоднозначно, потому что смешивает терминологию, используемую в вероятности и статистике. То же самое с симуляцией, где образцы взяты из общего распределения . В обоих случаях выборка данныхн $n$$n$$n$у тебя есть. Образцы рассматриваются как случайные переменные, потому что случайные процессы приводят к их рисованию. Они распределяются одинаково, поскольку они происходят из общего распределения. Для работы с выборками у нас есть статистика, в то время как статистика использует абстрактное, математическое описание ее проблем с точки зрения теории вероятностей, поэтому терминология смешанная. Случайные переменные - это функции, присваивающие вероятности событиям, которые могут встречаться в ваших выборках.