Как ожидаемое значение соотносится со средним, медианным и т. Д. В ненормальном распределении?

Как ожидаемое значение непрерывной случайной величины связано с ее средним арифметическим, медианой и т. Д. В ненормальном распределении (например, косо-нормальное)? Меня интересуют любые распространенные / интересные дистрибутивы (например, log-normal, простые bi / multimodal дистрибутивы, что-нибудь еще странное и замечательное).

Я в основном ищу качественные ответы, но любые количественные или формальные ответы также приветствуются. Я особенно хотел бы видеть любые визуальные представления, которые делают это более ясным.

(частично преобразовано из моего ныне удаленного комментария выше)

Ожидаемое значение и среднее арифметическое - это одно и то же. Медиана связана со средним нетривиальным образом, но вы можете сказать несколько вещей об их отношении:

• когда распределение симметрично, среднее значение и медиана одинаковы

• когда распределение отрицательно искажено, медиана обычно больше, чем среднее

• когда распределение положительно искажено, медиана обычно меньше среднего

Между гармоникой, геометрическим и средним арифметическим логарифмически нормально распределенной случайной величины существует хорошая связь . Позволять$X \sim \mathcal{LN}\left( \mu,\sigma^2 \right)$

• (среднее гармоническое),$\mathrm{HM}(X) = \mathrm{e}^{\mu - \frac{1}{2}\sigma^2}$
• (среднее геометрическое),$\mathrm{GM}(X) = \mathrm{e}^{\mu}$
• (среднее арифметическое).$\mathrm{AM}(X) = \mathrm{e}^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2}$

Нетрудно видеть, что произведение гармонического и среднего арифметического дает квадрат среднего геометрического, т.е.

$$\mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) = \mathrm{GM}^2(X).$$

$X$$X$$X$

$$\mathrm{GM}(X) = \sqrt{ \mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) }.$$

Кроме того, хорошо известное неравенство HM-GM-AM

$$\mathrm{HM}(X) \leq \mathrm{GM}(X) \leq \mathrm{AM}(X)$$

можно выразить как

$$\mathrm{HM}(X) \cdot \sqrt{\mathrm{GVar}(X)} = \mathrm{GM}(X) = \dfrac{\mathrm{AM}(X)}{\sqrt{\mathrm{GVar}(X)}},$$

$\mathrm{GVar}(X) = \mathrm{e}^{\sigma^2}$

Для полноты существуют также распределения, для которых среднее значение не является четко определенным. Классическим примером является распределение Коши (у этого ответа есть хорошее объяснение почему). Другим важным примером является распределение Парето с показателем степени меньше 2.

В то время как правильно, что математически среднее значение и ожидаемое значение определяются одинаково, для искаженного распределения это соглашение об именах вводит в заблуждение.

Представьте, что вы спрашиваете подругу о ценах на жилье в ее городе, потому что вам там очень нравится, и вы действительно думаете о переезде в этот город.

Если распределение призов за жилье было унимодальным и симметричным, то ваш друг может сказать вам среднюю цену домов, и вы действительно можете ожидать, что большинство домов на рынке найдут эти средние значения.

Однако если распределение цен на жилье является унимодальным и искаженным, например, с перекосом вправо для большинства домов в нижнем ценовом диапазоне слева и только для некоторых непомерных домов справа, то среднее значение будет «перекошено» к высоким ценам на право.

При таком унимодальном, искаженном распределении цен на жилье вы можете ожидать, что большинство домов будет продаваться на рынке около медианы .