Как получить «собственные значения» (проценты объясненной дисперсии) векторов, которые не являются собственными векторами PCA?

Я хотел бы понять, как я могу получить процент дисперсии набора данных не в координатном пространстве, предоставленном PCA, а по отношению к немного другому набору (повернутых) векторов.

set.seed(1234)
xx <- rnorm(1000)
yy <- xx * 0.5 + rnorm(1000, sd = 0.6)
vecs <- cbind(xx, yy)
plot(vecs, xlim = c(-4, 4), ylim = c(-4, 4))
vv <- eigen(cov(vecs))$vectors
ee <- eigen(cov(vecs))$values
a1 <- vv[, 1]
a2 <- vv[, 2]
theta = pi/10
rotmat <- matrix(c(cos(theta), sin(theta), -sin(theta), cos(theta)), 2, 2)
a1r <- a1 %*% rotmat
a2r <- a2 %*% rotmat
arrows(0, 0, a1[1], a1[2], lwd = 2, col = "red")
arrows(0, 0, a2[1], a2[2], lwd = 2, col = "red")
arrows(0, 0, a1r[1], a1r[2], lwd = 2, col = "green3")
arrows(0, 0, a2r[1], a2r[2], lwd = 2, col = "green3")
legend("topleft", legend = c("eigenvectors", "rotated"), fill = c("red", "green3"))

В общем, я знаю, что дисперсия набора данных вдоль каждой из красных осей, заданная PCA, представлена ​​собственными значениями. Но как я мог получить эквивалентные отклонения, в сумме одинаковую, но с проекцией двух разных осей в зеленом цвете, представляющих собой поворот на pi / 10 осей главных компонент. IE дает два ортогональных единичных вектора из источника, как я могу получить дисперсию набора данных вдоль каждой из этих произвольных (но ортогональных) осей, так что вся дисперсия учитывается (т.е. сумма «собственных значений» равна той же самой, что и PCA).

$X$$n$$d$$\{v_1, ..., v_k\}$$v_i$$\text{Var}(X v_i)$

$k = d$$k < d$

$R^2$$S$

Это просто отношение суммированных отклонений проекций и суммированных отклонений по исходным размерам.

$R^2$$i$$x_{(i)}$$V$$i$$V$$p_{(i)} = x_{(i)} V$$k < d$$\hat{x}_{(i)} = p_{(i)} V^T$

Достоверность подгонки определяется так же, как и для других моделей (то есть как единица минус доля необъяснимой дисперсии). Учитывая среднеквадратическую ошибку модели ( ) и общую дисперсию моделируемой величины ( ), . В контексте нашей реконструкции данных среднеквадратическая ошибка равна (ошибка реконструкции). Общая дисперсия (сумма дисперсий по каждому измерению данных). Так: MSE Var total R 2 = 1 - MSE / Var total E $R^2$$\text{MSE}$$\text{Var}_{\text{total}}$$R^2 = 1 - \text{MSE} / \text{Var}_{\text{total}}$$E$$S$

R $S$ также равно среднеквадратичному евклидову расстоянию от каждой точки данных до среднего значения всех точек данных, поэтому мы также можем рассматривать как сравнение ошибки восстановления с ошибкой «худшей модели», которая всегда возвращает значит, как реконструкция.$R^2$

Два выражения для эквивалентны. Как и выше, если имеется столько векторов, сколько исходных размеров ( ), тогда будет одним. Но, если , , как правило, будет меньше, чем для PCA. Другой способ думать о PCA состоит в том, что он минимизирует квадратичную ошибку реконструкции. k = d R 2 k < d R $R^2$$k = d$$R^2$$k < d$$R^2$