Интуиция за распределением степенного закона

16

Я знаю, что pdf степенного закона распределения

p(x)=α1xmin(xxmin)α

Но что это означает интуитивно, если, например, цены на акции следуют распределению по степенному закону? Значит ли это, что потери могут быть очень высокими, но нечастыми?

Томас Джеймс
источник

Ответы:

5

Это дистрибутив с тяжелыми хвостами, так как cdf это

F(x)=1(xxmin)1α
Таким образом, вероятность превышенияx,(x/xmin)1αможет быть сделана произвольно близкой к1при правильном выбореα. Например, если кто-то хочет, чтобы вероятность превышения10uxminсоставляла не менее0.9, следует выбратьαравной не более
1log10(0.9)/u
кривой, представленной ниже, причем первая ось масштабируется с помощью ,не 10 у й мин ... u10uxminR curve rendering of the above function
Сиань
источник
2

Это не рецензируемый источник, но мне нравится эта записка по CMU STATs профессора Cosma Шализи . Он также является автором этой статьи об оценке таких вещей по данным.

Ага
источник
Вот почему я задал свой вопрос. Я уже читал эту статью. Без уравнений, что это означает для чего-то, чтобы следовать за степенным законом распределения?
Томас Джеймс
2
Добро пожаловать на сайт, Томас! Вы можете отредактировать свой вопрос, чтобы дать некоторое представление о том, что вызвало у вас интерес изначально. Как правило, чем больше информации, тем лучше. Например, заявив, что вы прочитали заметку профессора Шализи, и это заставило вас задуматься о том, что X не только вытесняет ответы, которые подсказывают именно это, но также более четко показывает ваш ход мыслей, который имеет тенденцию вызывать лучшие ответы. :) (Например, вы читали обзорную статью М. Митценмахера в « Интернет-математике» ?)
кардинал
2

Бумажные законы о власти в экономике и финансах могут помочь понять интуицию о законах о власти. Ксавье Габе утверждает, что степенной закон (ПЛ) - это форма, принятая большим количеством удивительных эмпирических закономерностей в экономике и финансах. В его обзоре рассматриваются хорошо документированные эмпирические PL, касающиеся доходов и благосостояния, размера городов и фирм, доходности фондового рынка, объема торгов, международной торговли и оплаты труда руководителей.

Интуиция для распределения Парето

Парето (Википедия) первоначально описал распределение богатства между людьми: большая часть богатства любого общества принадлежит небольшому проценту людей. Его идея выражается более просто, так как принцип Парето или «правило 80-20» гласит, что 20% населения контролируют 80% богатства.

Правильный хвост распределения доходов и богатства часто напоминает Парето

Если распределение дохода - Парето, то можно получить простые выражения для доли лучших 1% или лучших 10%. Тогда доля верхнего четвертого процентиля в общем доходе может быть получена как:

(q100)α1α,

где - параметр формы. Это выражение подразумевает, что более низкийα1 соответствует более толстому хвосту распределения Парето и, следовательно, большей доле общего дохода, получаемой лицами с более высоким процентилем распределения. Например, при α = 2 верхняя доля 1% составляет 10%, а при α = 3 - 4%.αα=2α=3

Эмеривилль
источник
2

Одно интересное свойство степенного распределения исходит от просмотра его в логарифмическом масштабе. Если мы имеем то логарифмическое преобразование Y = ln ( x / x min ) Exp (XPower(xmin,α) . То есть значения X имеют экспоненциальное распределение в логарифмическом масштабе.Y=ln(x/xmin)Exp(α1)X

Теперь одно важное свойство экспоненциального распределения состоит в том, что оно имеет постоянную степень опасности. Записав коэффициент опасности для по первым принципам (в качестве условной плотности в ее предельной форме) и скорректировав ее, чтобы сформировать ее в терминах X, мы получим:YX

α1=λY(y)=limϵ01ϵP(yYy+ϵ|Yy)=limϵ01ϵP(ln(x)ln(X)ln(x)+ϵ|Xx)=limϵ0P(xXxeϵ|Xx)ϵ=limδ1P(xXδx|Xx)lnδ.

We can see from this hazard characterisation that P(xXδx|Xx)(α1)lnδ for any small values of lnδ. Notice that this probability does not depend on the conditioning value x, which is the result of the constant-hazard property. Hence, for any conditioning values x,x>xmin, and any small value lnδ, we have:

P(xXδx|Xx)P(xXδx|Xx).

Hence, we see that the power-law can be characterised by the fact that this conditional probability is approximately the same regardless of the conditioning point. In the context of stock prices, if these follow a power-law then we can say that, the probability that the stock will "rise" by some proportion is not dependent on its present value.


We use "rise" loosely here, since we are talking about a single random variable, and we have not modelled a time-series of stock prices. Within out present context we refer to the probability of a "rise" in the stock price in the sense of a conditional probability that the price is within some interval above a lower bound, conditional on this lower bound.

Reinstate Monica
источник